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비균일 진행파 편미분방정식의 풀이 📂편미분방정식

비균일 진행파 편미분방정식의 풀이

정의

다음의 식을 만족하는 uu를 비균일 진행파non-uiform traveling wave라고 한다.

{ut+c(x)ux=0,t>0u(t,x)=f(x),t=0 \begin{cases} u_{t} + c(x) u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases}

여기서 tt는 시간, xx는 위치, u(t,x)u(t,x)는 시간 tt일 때 xx에서의 파형을 나타낸다. ff는 초기 조건으로써 특히 t=0t=0일 때의 파형을 나타낸다. 함수 c(x)c(x)는 파동의 진행 속도를 나타낸다.

설명

20180514\_081500.png

비균일 진행파는 시간이 흐름에 따라 속도가 변하는 파동이다. 위 그림의 경우 갈수록 속도가 줄어들어서 한 점에서만 우뚝 서버리는 파형이 되어간다.

cc 가 상수면 균일 진행파 편미분방정식이 된다. 비균일 진행파 편미분방정식의 해가 존재한다면 풀이는 다음과 같다.

풀이

  • Step 1. 특성 곡선이 존재해서 x=x(t)x = x(t), 즉 h(t)=u(t,x(t))h(t) = u(t, x(t)) 라고 가정한다.

    다변수 함수의 연쇄법칙에 의해

    dhdt=∂u∂tdtdt+∂u∂xdxdt=ut+dxdtux \displaystyle {{ dh } \over { dt }} = {{\partial u} \over {\partial t}} {{d t} \over {d t}} + {{\partial u } \over {\partial x }} {{d x } \over {d t }} = u_{t} + {{dx} \over {dt}} u_{x}

    여기서

    c(x)=dxdt  ⟹  1c(x)dx=dt \displaystyle c(x) = {{dx} \over {dt}} \implies {{ 1 } \over { c(x) }} dx = dt

    이라 두자.

  • Step 2. 특성 곡선 β(x)=t\beta (x) = t 을 찾는다.

    위에서 얻은 식에 적분을 취하면 ∫1c(x)dx=∫dt=t\displaystyle \int {{ 1 } \over { c(x) }} dx = \int dt = t 이므로 β(x)=∫1c(x)dx\displaystyle \beta (x) = \int {{ 1 } \over { c(x) }} dx 로 두면 된다.

  • Step 3. β−1(t)=x\beta^{-1} (t ) = x 를 구한다.

    특성곡선끼리는 서로 절대로 만나지 않으므로 역함수는 존재한다.

  • Step 4. u(t,x):=f(β−1(β(x)−t))u(t,x) := f( \beta^{-1 } ( \beta ( x ) -t ) ) 으로 둔다.

    그러면

    ut=f′(β−1(β(x)−t))(β−1)′(β(x)−t)⋅(−1) u_{t} = f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) \cdot (-1)

    그리고

    ux=f′(β−1(β(x)−t))(β−1)′(β(x)−t)⋅β′(x) u_{x} = f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) \cdot \beta ' (x)

    특성 곡선의 정의에서 β′(x)=1c(x)\displaystyle \beta ' (x) = {{1} \over {c(x)}} 이므로

    ut+c(x)ux=−f′(β−1(β(x)−t))(β−1)′(β(x)−t)+c(x)f′(β−1(β(x)−t))(β−1)′(β(x)−t)1c(x)=0 \begin{align*} \\ &u_{t} + c(x) u_{x} \\ =&- f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) + c(x) f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) {{1} \over {c(x)}} \\ =& 0 \end{align*}

    따라서 u(t,x)=f(β−1(β(x)−t))u(t,x) = f( \beta^{-1 } ( \beta ( x ) -t ) ) 은 비균일 진행파 미분방정식의 해가 된다.

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예제

  • {ut+(x2−1)ux=0,t>0u(t,x)=e−x2,t=0\begin{cases} u_{t} + (x^2 - 1) u_{x} = 0 & , t> 0 \\ u(t,x) = e^{-x^2} & , t = 0 \end{cases} 의 해를 구하라.

x=±1x = \pm 1 에서는 c(x)=x2−1=0c(x) = x^2 - 1 = 0 이므로 정상파 편미분방정식이 되어 u(t,x)=u(0,x)=f(x)=e−x2u(t,x) = u(0,x) = f(x) = e^{-x^2} 이다. x≠±1x \ne \pm 1 에서는 특성 곡선

t=beta(x)=∫1x2−1dx=12log⁡∣x−1x+1∣ t = beta (x) = \int {{1} \over {x^2 - 1}} dx = {{1 } \over {2}} \log \left| {{x-1} \over {x+1}} \right|

을 찾는다. 그리고 x=β−1(t)=1+e2t1−e2t\displaystyle x= \beta^{-1} (t) = {{1 + e^{2t}} \over {1 - e^{2t}}} 이므로

u(t,x)=f(β−1(β(x)−t))=exp⁡[−(x+1+(x−1)e−2tx+1−(x−1)e−2t)2] u(t,x) = f(\beta^{-1} ( \beta (x) - t ) ) = \exp \left[ - \left( {{ x + 1 + (x - 1) e^{-2t} } \over { x + 1 - (x - 1) e^{-2t} }} \right)^2 \right]

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