비균일 진행파 편미분방정식의 풀이
정의
다음의 식을 만족하는 $u$를 비균일 진행파non-uiform traveling wave라고 한다.
$$ \begin{cases} u_{t} + c(x) u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases} $$
여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $u(t,x)$는 시간 $t$일 때 $x$에서의 파형을 나타낸다. $f$는 초기 조건으로써 특히 $t=0$일 때의 파형을 나타낸다. 함수 $c(x)$는 파동의 진행 속도를 나타낸다.
설명
비균일 진행파는 시간이 흐름에 따라 속도가 변하는 파동이다. 위 그림의 경우 갈수록 속도가 줄어들어서 한 점에서만 우뚝 서버리는 파형이 되어간다.
$c$ 가 상수면 균일 진행파 편미분방정식이 된다. 비균일 진행파 편미분방정식의 해가 존재한다면 풀이는 다음과 같다.
풀이
Step 1. 특성 곡선이 존재해서 $x = x(t)$, 즉 $h(t) = u(t, x(t))$ 라고 가정한다.
다변수 함수의 연쇄법칙에 의해
$$ \displaystyle {{ dh } \over { dt }} = {{\partial u} \over {\partial t}} {{d t} \over {d t}} + {{\partial u } \over {\partial x }} {{d x } \over {d t }} = u_{t} + {{dx} \over {dt}} u_{x} $$
여기서
$$ \displaystyle c(x) = {{dx} \over {dt}} \implies {{ 1 } \over { c(x) }} dx = dt $$
이라 두자.
Step 2. 특성 곡선 $\beta (x) = t$ 을 찾는다.
위에서 얻은 식에 적분을 취하면 $\displaystyle \int {{ 1 } \over { c(x) }} dx = \int dt = t $ 이므로 $\displaystyle \beta (x) = \int {{ 1 } \over { c(x) }} dx$ 로 두면 된다.
Step 3. $\beta^{-1} (t ) = x$ 를 구한다.
특성곡선끼리는 서로 절대로 만나지 않으므로 역함수는 존재한다.
Step 4. $u(t,x) := f( \beta^{-1 } ( \beta ( x ) -t ) ) $ 으로 둔다.
그러면
$$ u_{t} = f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) \cdot (-1) $$
그리고
$$ u_{x} = f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) \cdot \beta ' (x) $$
특성 곡선의 정의에서 $\displaystyle \beta ' (x) = {{1} \over {c(x)}}$ 이므로
$$ \begin{align*} \\ &u_{t} + c(x) u_{x} \\ =&- f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) + c(x) f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) {{1} \over {c(x)}} \\ =& 0 \end{align*} $$
따라서 $u(t,x) = f( \beta^{-1 } ( \beta ( x ) -t ) )$ 은 비균일 진행파 미분방정식의 해가 된다.
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예제
- $\begin{cases} u_{t} + (x^2 - 1) u_{x} = 0 & , t> 0 \\ u(t,x) = e^{-x^2} & , t = 0 \end{cases}$ 의 해를 구하라.
$x = \pm 1$ 에서는 $c(x) = x^2 - 1 = 0$ 이므로 정상파 편미분방정식이 되어 $u(t,x) = u(0,x) = f(x) = e^{-x^2}$ 이다. $x \ne \pm 1$ 에서는 특성 곡선
$$ t = beta (x) = \int {{1} \over {x^2 - 1}} dx = {{1 } \over {2}} \log \left| {{x-1} \over {x+1}} \right| $$
을 찾는다. 그리고 $\displaystyle x= \beta^{-1} (t) = {{1 + e^{2t}} \over {1 - e^{2t}}}$ 이므로
$$ u(t,x) = f(\beta^{-1} ( \beta (x) - t ) ) = \exp \left[ - \left( {{ x + 1 + (x - 1) e^{-2t} } \over { x + 1 - (x - 1) e^{-2t} }} \right)^2 \right] $$
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