📂편미분방정식

균일 진행파 편미분방정식의 풀이

정의

다음의 식을 만족하는 $u$를 균일 진행파^{uniform traveling wave}라고 한다.

$$\begin{cases} u_{t} + c u_{x} + a u = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases}$$

여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $u(t,x)$는 시간 $t$일 때 $x$에서의 파형을 나타낸다. $f$는 초기 조건으로써 특히 $t=0$일 때의 파형을 나타낸다. 상수 $c$ 는 파동의 진행 속도를 나타내며, 상수 $a$ 의 부호에 따라 진폭이 변한다.

설명

균일 진행파는 시간이 흐름에 따라 일정한 속도로 이동하는 파동이다. 만약 상수 $a$ 가 양수면 시간이 흐름에 따라 위와 같이 진폭이 작아진다.

• $c=0$ 이면 파동은 움직이지 않고, $c>0$ 이면 $x$ 축의 방향으로 이동하고 $c<0$ 이면 $x$ 축의 반대 방향으로 이동한다.
• $a=0$ 이면 진폭은 변하지 않고, $a>0$ 이면 진폭이 점점 작아지고 $a<0$ 이면 진폭이 점점 커진다.

$a, c = 0$ 이면 정상파 편미분방정식이 된다. 균일 진행파 편미분방정식의 해가 존재한다면 풀이는 다음과 같다.

수리생물학에서의 응용

$${{ \partial n } \over { \partial t }} + {{ \partial n } \over { \partial a }} = - \mu \left( a \right) n$$

폰 푀르스터 방정식은 집단의 연령구조를 균일 진행파로 모델링한다.

풀이

• Step 1. 특성 곡선 $x : = ct + \xi$ 을 잡는다.

  이는 파동의 초기 위치를 $\xi$ 로 두고 시간당 $c$ 만큼 이동함을 나타낸다.

• Step 2. 새로운 함수 $v(t,\xi) := u(t,x)$ 를 정의한다.

  그러면 $u(t, ct + \xi) = v(t, x - ct)$ 이고, 다변수 함수의 연쇄법칙에 의해

  $$\displaystyle {{ \partial u } \over { \partial t }} = {{ \partial v } \over { \partial t }} {{ d t } \over { d t }} + {{ \partial v } \over { \partial \xi }} {{ d \xi } \over { d t }} = v_{t} - c v_{ \xi } \\ \displaystyle {{ \partial u } \over { \partial x }} = {{ \partial v } \over { \partial t }} {{ d t } \over { d x }} + {{ \partial v } \over { \partial \xi }} {{ d \xi } \over { d x }} = 0 + v_{ \xi }$$

  균일 진행파를 가정하고 있으므로 $\displaystyle v_{x} = {{ \partial v } \over { \partial t }} {{ d t } \over { d x }} = 0$ 이다.

• Step 3. $u ( t, x ) = v( t, \xi )$ 를 대입한다.

  $$\begin{align*} u_{t} + c u_{x} + a u &= ( v_{t} - c v_{\xi} ) + c v_{\xi} + a v \\ =& v_{t} + a v \\ =& 0 \end{align*}$$

• Step 4. 상미분방정식 $v_{t} + a v = 0$ 의 양변에 $e^{a t }$ 를 곱한다.

  $$\displaystyle v_{t} e^{at} + a v e^{at} = 0 \iff {{ \partial } \over { \partial t }} \left( v e^{at} \right) = 0$$

  한편

  $$\begin{align*} f(x) =& u(0,x) \\ =& v(0, \xi) \\ =& v(0, \xi) e^{ a \cdot 0 } \\ =& f (\xi ) \end{align*}$$

  이므로 $f( \xi ) = v e^{at}$ 는 정상파 편미분방정식 $\displaystyle {{ \partial } \over { \partial t }} \left( v e^{at} \right) = 0$ 의 해가 된다.

  • Step 5. 다시 $v( t, \xi ) = u ( t, x )$ 로 되돌린다.

    $v(t,x) e^{a t} = f(\xi)$ 이므로 $u(t,x) = f(x - ct) e^{-at}$ 이다.

■

예제

1

• $\displaystyle \begin{cases} u_{t} -4 u_{x} + u = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = x^2 & , t=0 \end{cases}$ 의 해를 구하라.

해의 공식 $u(t,x) = f(x - ct) e^{-at}$ 에 $c=-4$ 와 $a = 1$ 를 대입하면

$$u(t,x) = (x + 4t)^2 e^{-t}$$

검산해보면

$$u_{t} -4 u_{x} + u = \left[ 8(x + 4t) - (x + 4t)^2 \right] e^{-t} - 4 \cdot 2 (x + 4t) e^{-t} + (x + 4t)^2 e^{-t} = 0$$

이고

$$u(0,x) = (x + 0 )^2 e^{-0} = x^2$$

이다.

■

2

• $\displaystyle \begin{cases} u_{t} + 2 u_{x} = 1 & , t>0 \\ u(t,x) = e^{-x^2} & , t=0 \end{cases}$ 의 해를 구하라.

우선은 $\displaystyle \begin{cases} w_{t} + 2 w_{x} = 0 & , t>0 \\ w(t,x) = e^{-x^2} & , t=0 \end{cases}$ 의 해부터 구해보자. 해의 공식 $w(t,x) = f(x - ct) e^{-at}$ 에 $c=2$ 와 $a = 0$ 를 대입하면

$$w(t,x) = e^{-(x-2t)^2}$$

이제 어떤 함수 $f,g$ 에 대해 $u(t,x) = w(t,x) + f(t) + g(x)$ 이라고 하자. 임의의 상수 $k \in \mathbb{R}$ 에 대해 $f(t) = kt$ 그리고 $\displaystyle g(x) = {{1-k} \over {2}} x$ 라고 두면

$$u_{t} + 2 u_{x} = [ w_{t} + f '(t) ] + 2 [ w_{x} + g ' (x) ] = ( w_{t} + 2 w_{x} ) + ( k + 2 {{1-k} \over {2}} ) = 0 + 1$$

따라서

$$u(t,x) = e^{-(x-2t)^2} + kt + {{1-k} \over {2}} x$$

는 주어진 방정식의 해가 된다.

■