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측도론에서의 거의 어디서나와 거의 확실히 📂측도론

측도론에서의 거의 어디서나와 거의 확실히

정의 1

함수 f:E→R‾f : E \to \overline{\mathbb{R}} 가 m(E0)=0m(E_{0}) = 0 인 E0⊂EE_{0} \subset E 을 제외하고 어떤 성질 PP 를 가질 때, ff 는 EE 의 거의 어디서나 PP 를 가진다고 한다.

표기

확률을 이야기 할 때 거의 어디서나almost Everywhere는 거의 확실히almost Surely 로 표현하며, 한국어만으로 표기하는 게 번거로울 때는 다음과 같이 약자를 써서 표현한다. f=g a.e.P(E)=0 a.s. f = g \text{ a.e.} \\ P(E) = 0 \text{ a.s.}

설명

쉽게 말하면 영집합을 제외한 모든 점을 ‘거의 모든 곳’으로 보는 것이다. 이러한 개념은 새삼 정의해서 생소할 뿐 고등학교에서 정적분을 배울 때 이미 알고 있던 것이다. 때문에 위끝과 아래끝이 같으면 그 정적분은 반드시 00 이었고, 확률을 계산할 때도 끝 점이 포함되느냐, 포함되지 않느냐는 무시했다.

기초 성질

  • [1]: f:E→Rf : E \to \mathbb{R} 가 가측이고 EE 의 거의 어디서나 f=gf = g 면 gg 는 EE 에서 가측이다.
  • [2]: f,gf,g 가 EE 에서 가측이고 EE 의 거의 어디서나 ∣f∣,∣g∣<∞|f| , |g| < \infty 면 αf+βg\alpha f + \beta g 는 EE 에서 가측이다.
  • [3]: f,gf,g 가 EE 에서 가측이고 EE 의 거의 어디서나 ∣f∣,∣g∣<∞|f| , |g| < \infty 면 fgf g 는 가측이다.

증명

이 성질들은 한번 정도는 손으로 직접 증명해보는 게 좋긴 한데, 증명하는 재미만 생각해보면 [3] 외에는 그다지 볼만한 게 없다.

[1]

E0={x∈E ∣ f(x)≠g(x)}E_{0} = \left\{ x \in E \ | \ f(x) \ne g(x) \right\} 라고 하면 E0⊂EE_{0} \subset E 고 m(E0)=0m(E_{0}) = 0 이다. 임의의 cc 에 대해 {x∈E ∣ g(x)>c}={x∈E0 ∣ g(x)>c}∪[{x∈E ∣ f(x)>c}∩(E∖E0)] \left\{ x \in E \ | \ g(x) > c \right\} = \left\{ x \in E_{0} \ | \ g(x) > c \right\} \cup \left[ \left\{ x \in E \ | \ f(x) > c \right\} \cap ( E \setminus E_{0} ) \right] 라고 하자. 우변의 항을 하나씩 살펴보면 {x∈E0 ∣ g(x)>c}⊂E0\left\{ x \in E_{0} \ | \ g(x) > c \right\} \subset E_{0} 이므로 {x∈E0 ∣ g(x)>c}∈M \left\{ x \in E_{0} \ | \ g(x) > c \right\} \in \mathcal{M} ff 는 EE 에서 가측이므로 {x∈E ∣ f(x)>c}∈M \left\{ x \in E \ | \ f(x) > c \right\} \in \mathcal{M} 마지막으로 E∩(R∖E0)=(E∖E0)∈M E \cap (\mathbb{R} \setminus E_{0}) = ( E \setminus E_{0} ) \in \mathcal{M} 따라서 {x∈E ∣ g(x)>c}∈M\left\{ x \in E \ | \ g(x) > c \right\} \in \mathcal{M} 이고, gg 는 EE 에서 가측이다.

■

[2]

α=0\alpha = 0 이면 αf\alpha f 는 가측이고 β=0\beta = 0 이면 βg\beta g 는 가측이다.

α≠0\alpha \ne 0 이면 ff 가 가측이므로 임의의 cα\displaystyle {{c} \over {\alpha}} 에 대해 {x∈E ∣ f(x)>cα}∈M \left\{ x \in E \ \left| \ f(x) > {{c} \over {\alpha}} \right. \right\} \in \mathcal{M} 여기서 α>0\alpha> 0 면 {x∈E ∣ αf(x)>c}∈M \left\{ x \in E \ | \ \alpha f(x) > c \right\} \in \mathcal{M} 이고 α<0\alpha <0 면 {x∈E ∣ αf(x)<c}∈M \left\{ x \in E \ | \ \alpha f(x) < c \right\} \in \mathcal{M} 따라서 αf\alpha f 는 가측이고, 같은 방법으로 β≠0\beta \ne 0 일 때 βg\beta g 가 가측이라는 것도 같은 방법으로 보일 수 있다.

이제 (f+g)(f + g) 가 가측, 즉 {x∈E ∣ f(x)+g(x)<c}∈M\left\{ x \in E \ | \ f(x) + g(x) < c \right\} \in \mathcal{M} 을 보이면 증명은 끝난다. 두 함수는 유한한 값을 가지므로 모든 x∈Ex \in E 에 대해 f(x)+g(x)<cf(x) + g(x) < c 를 만족하는 c∈Rc \in \mathbb{R} 가 존재할 것이다. 다시 나타내면 f(x)<c−g(x)f(x) < c - g(x) 고 유리수의 조밀성에 의해 f(x)<q<c−g(x)f(x) < q < c - g(x) 를 만족하는 q∈Qq \in \mathbb{Q} 가 존재한다. 그러면 ⋃q∈Q{x∈E ∣ g(x)<c−q}∩{x∈ ∣ Ef(x)<q}={x∈E ∣ f(x)+g(x)<c}∈M \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \left\{ x \in E \ | \ g(x) < c - q \right\} \cap \left\{ x \in \ | \ E f(x) < q \right\} = \left\{ x \in E \ | \ f(x) + g(x) < c \right\} \in \mathcal{M}

■

Strategy[3]**: fgfg 가 가측임을 보이는 아이디어는 fg=12[(f+g)2−f2−g2]\displaystyle fg = {{1} \over {2}} \left[ (f+ g)^2 - f^2 - g^2\right] 이 등식 하나로 요약된다.

[3]

이미 [2]에서 함숫값이 발산하지 않는 가측 함수들의 합은 가측임을 보였으므로, f2f^2 이 가측임을 보이면 충분하다. ff 는 가측이므로 모든 cc 에 대해 {x∈E ∣ f(x)>c}∈M{x∈E ∣ f(x)<−c}∈M \left\{ x \in E \ | \ f(x) > \sqrt{c} \right\} \in \mathcal{M} \\ \left\{ x \in E \ | \ f(x) < - \sqrt{c} \right\} \in \mathcal{M} 이다. 따라서 {x∈E ∣ f(x)>c}∪{x∈E ∣ f(x)<−c}={x∈E ∣ f2(x)>c}∈M \left\{ x \in E \ | \ f(x) > \sqrt{c} \right\} \cup \left\{ x \in E \ | \ f(x) < - \sqrt{c} \right\} = \left\{ x \in E \ | \ f^2 (x) > c \right\} \in \mathcal{M}

■

같이보기

  • 거의 어디서나 수렴   ⟹  \implies 측도 수렴
  • 거의 확실히 수렴   ⟹  \implies 확률 수렴

  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p55. ↩︎