📂확률론

사건의 독립과 조건부 확률

정의 ¹

확률 공간 $(\Omega , \mathcal{F} , P)$ 이 주어져 있다고 하자.

1. $P(B)>0$ 에 대해 $\displaystyle P (A | B) = {{P(A \cap B)} \over {P(B)}}$ 를 $B$ 에 대한 $A$ 의 조건부 확률^{conditional Probability}이라고 한다.
2. 만약 $P(A | B) = P(A)$, 즉 $P( A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ 면 $A, B$ 가 서로 독립^independent이라고 한다.

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• 아직 측도론을 접하지 못했다면 확률 공간이라는 말은 무시해도 좋다.

설명

확률 공간이 잘 정의된만큼 조건부 확률이나 사건의 독립은 고등학교 수준의 정의를 그대로 사용할 수 있다. 조건부 확률과 독립 자체가 무척 직관적으로 잘 정의되었기 때문에 당연하다면 당연하다. 굳이 이걸 언급하는 이유는 ‘측도론을 도입했다고 달라지는 것이 없다는 것’을 지적하기 위한 것과, 확률변수를 논할 때 독립, 조건부 기대값과의 대비를 강조하기 위한 것이다.

조건부 확률의 변형으로써 다음의 두 가지 법칙을 얻는다. 이들은 베이즈 법칙으로 바로 응용될 수 있다.

정리

• [1] 확률의 곱셈 법칙: $$ P(A \cap B) = P(B) P(A | B) $$
• [2] 전체확률의 법칙: $$ P(C) = \sum_{i=1}^{k} P(C_{i}) P (C|C_{i}) $$