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르벡 가측 함수 📂측도론

르벡 가측 함수

정의 1

함수 f:E∈R‾f: E \in \overline{ \mathbb{R} } 가 모든 구간 I⊂R‾I \subset \overline{ \mathbb{R} } 에 대해 f−1(I)={x∈R ∣ f(x)∈I}∈M f^{-1} (I) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \in I \right\} \in \mathcal{M} 이면 ff 를 (르벡) 가측(Lesbegue) Measurable이라 한다.

동치조건

아래의 명제들은 서로 동치다.

  • (1): ff 가 르벡 가측 함수다.
  • (2): 모든 r∈Rr \in \mathbb{R} 에 대해 f−1(−∞,r]∈Mf^{-1} ( - \infty , r ] \in \mathcal{M}
  • (3): 모든 r∈Rr \in \mathbb{R} 에 대해 f−1(r,∞)∈Mf^{-1} (r, \infty ) \in \mathcal{M}
  • (4): 모든 r∈Rr \in \mathbb{R} 에 대해 f−1(−∞,r)∈Mf^{-1} ( - \infty , r ) \in \mathcal{M}
  • (5): 모든 r∈Rr \in \mathbb{R} 에 대해 f−1[r,∞)∈Mf^{-1} [r, \infty ) \in \mathcal{M}

정리

  • [1]: ff 가 가측인 것과 필요충분조건은 모든 열린 집합 OO 에 대해 f−1(O)∈Mf^{-1} ( O ) \in \mathcal{M} 인 것이다.
  • [2]: D⊂ED \subset E, D∈MD \in \mathcal{M} 일 때 f∣Ef |_{E} 가 가측인 것과 필요충분조건은 f∣Df |_{D}, f∣E∖Df |_{E \setminus D} 가 가측인 것이다.
  • [3]: 연속 함수는 가측이다.
  • [4]: 지시 함수는 가측이다.
  • [5]: 단조 함수는 가측이다.
  • f∣Xf |_{X} 은 정의역을 XX 로 제한시키고 f=f∣Xf = f |_{X} 인 축소사상을 의미한다.
  • 지시 함수indicator function란 다음과 같이 어떤 집합에 대해 속하면 11, 아니면 00 인 함수 1E(x)=χE(x)={1,x∈E0,x∉E\displaystyle \mathbb{1}_{E} (x) = \chi _{E} (x) = \begin{cases} 1 & , x \in E \\ 0 & , x \notin E \end{cases} 를 말한다. 깔끔하게 적으려다보니 E∈ME \in \mathcal{M} 라는 조건이 생략됐으므로 주의해야한다.

설명

보다 편한 조작을 위해선 원상의 정의인 f−1(−∞,r)={x∈E ∣ f(x)<r}f^{-1} (-\infty , r) = \left\{ x \in E \ | \ f(x) < r \right\} 을 그대로 쓰는게 편할 것이다.

만약 르벡 가측 함수의 조건에서 모든 구간 I⊂RI \subset \mathbb{R} 에 대해 f−1(I)={x∈R ∣ f(x)∈I}∈Bf^{-1} (I) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \in I \right\} \in \mathcal{B} 을 만족할 경우 보렐 가측borel Measurable이라 하며, 보렐 함수borel function라 부른다.

확장 실수 R‾:=[−∞,∞]\overline{\mathbb{R}} : = [ - \infty, \infty] 는 실수 전체에 무한대도 한 점으로 보고 포함한 것이다. 이제까지의 해석학에서 무한이란 마냥 어렵고 무서운 것이었지만 이젠 정복해야할 대상에 지나지 않는다. 너무 겁내지 말고 고등학교 그 시절의 유연한 사고를 다시 되찾도록 하자.

일반적인 가측 공간을 생각해봤을 땐 오히려 [1] 이 가측 함수의 정의가 되기도 한다.

증명

[1]

폐구간의 경우 개구간의 양 끝에 두 개의 점만 더하면 되므로 개구간만 생각하면 충분하다.

(⇒)(\Rightarrow)

개구간 Ak:=(ak,∞)A_{k} := (a_{k}, \infty), Bk:=(bk,∞)B_{k} := (b_{k}, \infty) 을 정의하면 ff 가 가측 함수이므로 f−1(Ak),f−1(Bk)∈Mf^{-1} (A_{k}), f^{-1} (B_{k}) \in \mathcal{M} 임의의 열린 집합 O⊂R‾O \subset \overline{ \mathbb{R} } 은 O=⋃k=1∞Ak∩Bk\displaystyle O = \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \cap B_{k} 로 나타낼 수 있으므로 f−1(O)=f−1[⋃k=1∞Ak∩Bk]=⋃k=1∞[f−1(Bk)∩f−1(Bk)]\displaystyle f^{-1} ( O ) = f^{-1} \left[ \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \cap B_{k} \right] = \bigcup_{k=1}^{\infty} \left[ f^{-1} (B_{k}) \cap f^{-1} (B_{k}) \right] σ-필드의 성질에 의해 f−1(O)∈Mf^{-1} ( O ) \in \mathcal{M} 이다.

(⇐)(\Leftarrow) 모든 열린 집합 O⊂R‾O \subset \overline{ \mathbb{R} } 에 대해 f−1(O)∈Mf^{-1} ( O ) \in \mathcal{M} 이므로, 모든 개구간 (a,b)⊂R‾(a,b) \subset \overline{ \mathbb{R} } 에 대해서도 f−1(a,b)∈Mf^{-1} (a,b) \in \mathcal{M} 이다.

가측 함수의 정의에 의해, ff 는 가측 함수다.

■

[2]

(⇒)(\Rightarrow)

f∣Ef |_{E} 가 가측 함수이므로 E∈ME \in \mathcal{M} 이고 D∈MD \in \mathcal{M} 이므로 (R∖D)∈M( \mathbb{R} \setminus D ) \in \mathcal{M} 이다. 따라서 다음이 성립한다. E∩(R∖D)=(E∖D)∈ME \cap (\mathbb{R} \setminus D ) = ( E \setminus D ) \in \mathcal{M}

f∣Ef |_{E} 가 가측 함수인데 D⊂ED \subset E 이고 D∈MD \in \mathcal{M} 이므로 f∣Df |_{D} 는 가측 함수다. 한편 (E∖D)⊂E(E \setminus D) \subset E 이고 (E∖D)∈M(E \setminus D) \in \mathcal{M} 이므로 f∣E∖Df |_{E \setminus D} 역시 가측 함수다.

(⇐)(\Leftarrow)

f∣Df |_{D}, f∣E∖Df |_{E \setminus D} 가 가측 함수이므로 D,(E∖D)∈MD, ( E \setminus D ) \in \mathcal{M} 이고, D∪(E∖D)=E∈MD \cup ( E \setminus D ) = E \in \mathcal{M} 이다. 따라서 f∣Ef |_{E} 는 가측 함수의 조건을 만족 시킨다.

이 증명에서 주의해야할 것은 f∣Xf |_{X} 가 가측이라는 말을 최대한 자제한 게 저 정도라는 것이다. 실제로는 거의 한 절마다 반복해서 적어줘야 제대로 된 증명이 된다.

■

[3]

ff 가 연속함수면 모든 열린 집합 V⊂YV \subset Y 에 대해, f−1(V)f^{-1} (V) 가 XX 에서 열린 집합이다.

연속함수의 성질과 정리 [1]에 의해 연속 함수는 가측 함수다.

참고로 합성 함수 f∘gf \circ g 가 가측 함수일 필요조건은 g:E1→E2g : E_{1} \to E_{2} 와 f:E2→Rf : E_{2} \to \mathbb{R} 이 연속 함수인 것이다.

■

[4]

당연하지만 증명에 앞서 E∈ME \in \mathcal{M} 임을 가정해야할 것이다. 그러면 1E−1(r,∞)={R,r<0E,0≤r<1∅,1≤r\mathbb{1}_{E}^{-1} ( r , \infty) = \begin{cases} \mathbb{R} & , r < 0 \\ E & , 0 \le r < 1 \\ \emptyset & , 1 \le r \end{cases} 이고, 모든 rr 에 대해서 1E−1(r,∞)∈M\mathbb{1}_{E}^{-1} (r, \infty) \in \mathcal{M} 이다.

■

[5]

단조 함수는 증가 함수거나 감소 함수다. 임의의 구간 II 에서 정의된 증가 함수 f:I→Rf : I \to \mathbb{R} 가 가측 함수임을 보이면 충분하다.

II 에서 ff 가 불연속이 되는 점의 집합을 D⊂ID \subset I 라고 하면 f∣I∖Df |_{I \setminus D} 는 연속 함수다. 단조 함수의 정의역에서 ff 가 불연속이 되는 점은 아무리 많아도 가산적이므로, DD 는 가산 집합이다.

D∈N⊂MD \in \mathcal{N} \subset \mathcal{M} 이므로 f∣Df |_{D} 는 가측 함수고, [3]에 의해 연속 함수 f∣I∖Df |_{I \setminus D} 도 가측 함수이므로 [2]에 의해 fI=ff_{I} = f 는 가측 함수다.

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일반화

  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p57. ↩︎