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르벡 가측 함수 📂측도론

르벡 가측 함수

정의 1

함수 $f: E \in \overline{ \mathbb{R} }$ 가 모든 구간 $I \subset \overline{ \mathbb{R} }$ 에 대해 $$ f^{-1} (I) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \in I \right\} \in \mathcal{M} $$ 이면 $f$ 를 (르벡) 가측(Lesbegue) Measurable이라 한다.

동치조건

아래의 명제들은 서로 동치다.

  • (1): $f$ 가 르벡 가측 함수다.
  • (2): 모든 $r \in \mathbb{R}$ 에 대해 $f^{-1} ( - \infty , r ] \in \mathcal{M}$
  • (3): 모든 $r \in \mathbb{R}$ 에 대해 $f^{-1} (r, \infty ) \in \mathcal{M}$
  • (4): 모든 $r \in \mathbb{R}$ 에 대해 $f^{-1} ( - \infty , r ) \in \mathcal{M}$
  • (5): 모든 $r \in \mathbb{R}$ 에 대해 $f^{-1} [r, \infty ) \in \mathcal{M}$

정리

  • [1]: $f$ 가 가측인 것과 필요충분조건은 모든 열린 집합 $O$ 에 대해 $f^{-1} ( O ) \in \mathcal{M}$ 인 것이다.
  • [2]: $D \subset E$, $D \in \mathcal{M}$ 일 때 $f |_{E}$ 가 가측인 것과 필요충분조건은 $f |_{D}$, $f |_{E \setminus D}$ 가 가측인 것이다.
  • [3]: 연속 함수는 가측이다.
  • [4]: 지시 함수는 가측이다.
  • [5]: 단조 함수는 가측이다.
  • $f |_{X}$ 은 정의역을 $X$ 로 제한시키고 $f = f |_{X}$ 인 축소사상을 의미한다.
  • 지시 함수indicator function란 다음과 같이 어떤 집합에 대해 속하면 $1$, 아니면 $0$ 인 함수 $$\displaystyle \mathbb{1}_{E} (x) = \chi _{E} (x) = \begin{cases} 1 & , x \in E \\ 0 & , x \notin E \end{cases}$$ 를 말한다. 깔끔하게 적으려다보니 $E \in \mathcal{M}$ 라는 조건이 생략됐으므로 주의해야한다.

설명

보다 편한 조작을 위해선 원상의 정의인 $f^{-1} (-\infty , r) = \left\{ x \in E \ | \ f(x) < r \right\}$ 을 그대로 쓰는게 편할 것이다.

만약 르벡 가측 함수의 조건에서 모든 구간 $I \subset \mathbb{R}$ 에 대해 $f^{-1} (I) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \in I \right\} \in \mathcal{B}$ 을 만족할 경우 보렐 가측borel Measurable이라 하며, 보렐 함수borel function라 부른다.

확장 실수 $\overline{\mathbb{R}} : = [ - \infty, \infty]$ 는 실수 전체에 무한대도 한 점으로 보고 포함한 것이다. 이제까지의 해석학에서 무한이란 마냥 어렵고 무서운 것이었지만 이젠 정복해야할 대상에 지나지 않는다. 너무 겁내지 말고 고등학교 그 시절의 유연한 사고를 다시 되찾도록 하자.

일반적인 가측 공간을 생각해봤을 땐 오히려 [1] 이 가측 함수의 정의가 되기도 한다.

증명

[1]

폐구간의 경우 개구간의 양 끝에 두 개의 점만 더하면 되므로 개구간만 생각하면 충분하다.

$(\Rightarrow)$

개구간 $A_{k} := (a_{k}, \infty)$, $B_{k} := (b_{k}, \infty)$ 을 정의하면 $f$ 가 가측 함수이므로 $$f^{-1} (A_{k}), f^{-1} (B_{k}) \in \mathcal{M}$$ 임의의 열린 집합 $O \subset \overline{ \mathbb{R} }$ 은 $\displaystyle O = \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \cap B_{k}$ 로 나타낼 수 있으므로 $$\displaystyle f^{-1} ( O ) = f^{-1} \left[ \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \cap B_{k} \right] = \bigcup_{k=1}^{\infty} \left[ f^{-1} (B_{k}) \cap f^{-1} (B_{k}) \right]$$ σ-필드의 성질에 의해 $f^{-1} ( O ) \in \mathcal{M}$ 이다.

$(\Leftarrow)$ 모든 열린 집합 $O \subset \overline{ \mathbb{R} }$ 에 대해 $f^{-1} ( O ) \in \mathcal{M}$ 이므로, 모든 개구간 $(a,b) \subset \overline{ \mathbb{R} }$ 에 대해서도 $f^{-1} (a,b) \in \mathcal{M}$ 이다.

가측 함수의 정의에 의해, $f$ 는 가측 함수다.

■

[2]

$(\Rightarrow)$

$f |_{E}$ 가 가측 함수이므로 $E \in \mathcal{M}$ 이고 $D \in \mathcal{M}$ 이므로 $( \mathbb{R} \setminus D ) \in \mathcal{M}$ 이다. 따라서 다음이 성립한다. $$E \cap (\mathbb{R} \setminus D ) = ( E \setminus D ) \in \mathcal{M}$$

$f |_{E}$ 가 가측 함수인데 $D \subset E$ 이고 $D \in \mathcal{M}$ 이므로 $f |_{D}$ 는 가측 함수다. 한편 $(E \setminus D) \subset E$ 이고 $(E \setminus D) \in \mathcal{M}$ 이므로 $f |_{E \setminus D}$ 역시 가측 함수다.

$(\Leftarrow)$

$f |_{D}$, $f |_{E \setminus D}$ 가 가측 함수이므로 $D, ( E \setminus D ) \in \mathcal{M}$ 이고, $$D \cup ( E \setminus D ) = E \in \mathcal{M}$$ 이다. 따라서 $f |_{E}$ 는 가측 함수의 조건을 만족 시킨다.

이 증명에서 주의해야할 것은 $f |_{X}$ 가 가측이라는 말을 최대한 자제한 게 저 정도라는 것이다. 실제로는 거의 한 절마다 반복해서 적어줘야 제대로 된 증명이 된다.

■

[3]

$f$ 가 연속함수면 모든 열린 집합 $V \subset Y$ 에 대해, $f^{-1} (V)$ 가 $X$ 에서 열린 집합이다.

연속함수의 성질과 정리 [1]에 의해 연속 함수는 가측 함수다.

참고로 합성 함수 $f \circ g$ 가 가측 함수일 필요조건은 $g : E_{1} \to E_{2}$ 와 $f : E_{2} \to \mathbb{R}$ 이 연속 함수인 것이다.

■

[4]

당연하지만 증명에 앞서 $E \in \mathcal{M}$ 임을 가정해야할 것이다. 그러면 $$\mathbb{1}_{E}^{-1} ( r , \infty) = \begin{cases} \mathbb{R} & , r < 0 \\ E & , 0 \le r < 1 \\ \emptyset & , 1 \le r \end{cases}$$ 이고, 모든 $r$ 에 대해서 $\mathbb{1}_{E}^{-1} (r, \infty) \in \mathcal{M}$ 이다.

■

[5]

단조 함수는 증가 함수거나 감소 함수다. 임의의 구간 $I$ 에서 정의된 증가 함수 $f : I \to \mathbb{R}$ 가 가측 함수임을 보이면 충분하다.

$I$ 에서 $f$ 가 불연속이 되는 점의 집합을 $D \subset I $ 라고 하면 $f |_{I \setminus D}$ 는 연속 함수다. 단조 함수의 정의역에서 $f$ 가 불연속이 되는 점은 아무리 많아도 가산적이므로, $D$ 는 가산 집합이다.

$D \in \mathcal{N} \subset \mathcal{M}$ 이므로 $f |_{D}$ 는 가측 함수고, [3]에 의해 연속 함수 $f |_{I \setminus D}$ 도 가측 함수이므로 [2]에 의해 $f_{I} = f$ 는 가측 함수다.

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일반화

  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p57. ↩︎