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완전 미분방정식의 풀이 📂상미분방정식

완전 미분방정식의 풀이

풀이

주어진 완전 미분방정식 M(x,y)+N(x,y)dydx=0M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0의 풀이는 다음과 같다.

  • Step 0.

    주어진 미분방정식이 완전하므로 ψx=M,  ψy=N,  ψ=c\psi_{x}=M,\ \ \psi_{y}=N, \ \ \psi=c인 ψ\psi가 존재한다.

  • Step 1.

    ψx\psi_{x}를 적분한다. 그 후 얻은 ψ\psi를 다시 yy로 미분하여 h′(y)h^\prime(y)를 구한다. Step 1을 포함한 전 과정에서 xx와 yy에 대해 반대로 해도 무관하다.

    ψ=∫ψx=∫M(x,y)dx+h(y)  ⟹  ψy=∂∂y(∫M(x,y)dx)+h′(y)=N(x,y)  ⟹  h′(y)=N(x,y)−∂∂y(∫M(x,y)dx) \begin{align} && \psi &= \int \psi_{x} = \int M(x,y)dx + h(y) \label{eq1} \\ \implies && \psi_{y}&=\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) +h^\prime(y)=N(x,y) \nonumber \\ \implies && h^\prime(y)&=N(x,y) - \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \nonumber \end{align}

  • Step 2.

    구한 h′(y)h^\prime(y)를 적분하여 h(y)h(y)를 구한 뒤 (eq1)\eqref{eq1}에 대입한다.

    h(y)=∫h′(y)dy=∫N(x,y)dy−∫[∂∂y(∫M(x,y)dx)]dy  ⟹  ψ(x,y)=∫M(x,y)dx+∫N(x,y)dy−∫[∂∂y(∫M(x,y)dx)]dy \begin{align*} && h(y)&=\int h^\prime(y) dy =\int N(x,y) dy - \int \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \right] dy \\ \implies && \psi (x,y)&= \int M(x,y)dx + \int N(x,y) dy - \int \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \right] dy \end{align*}

  • Step 3.

  • 최종적으로 ψ\psi를 음함수 꼴로 나타내면 미분방정식의 해가 된다.

    ∫M(x,y)dx+∫N(x,y)dy−∫[∂∂y(∫M(x,y)dx)]dy=c \int M(x,y)dx + \int N(x,y) dy - \int \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \right] dy=c

■

예제

1

미분방정식 (2x3y+4xy)+(12x4+2x2+3y2)y′=0(2x^3y+4xy)+(\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2)y^\prime=0을 풀어라.

M(x,y)=2x3y+4xyN(x,y)=12x4+2x2+3y2 M(x,y)=2x^3y+4xy\quad N(x,y)=\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2

라고 하면,

My=2x3+4x=Nx M_{y}=2x^3+4x=N_{x}

이므로 주어진 미분방정식은 완전하다. 따라서

ψx=M,ψy=N \psi_{x}=M,\quad \psi_{y}=N

을 만족하는 ψ=c\psi=c가 존재한다.

ψ=∫Mdx=∫(2x3y+4xy)dx=12x4y+2x2y+h(y)  ⟹  ψy=12x4+2x2+h′(y)=N(x,y)=12x4+2x2+3y2  ⟹  h′(y)=3y2  ⟹  h(y)=∫3y2dy=y3  ⟹  ψ=12x4y+2x2y+h(y)=12x4y+2x2y+y3 \begin{align*} && \psi&=\int M dx = \int (2x^3y+4xy) dx = \frac{1}{2}x^4y+2x^2y+h(y) \\ \implies && \psi_{y}&=\frac{1}{2}x^4+2x^2+h^\prime (y)=N(x,y)=\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2 \\ \implies && h^\prime (y)&=3y^2 \\ \implies && h(y)&=\int 3y^2 dy = y^3 \\ \implies && \psi& =\frac{1}{2}x^4y+2x^2y+h(y) = \frac{1}{2}x^4y+2x^2y+y^3 \end{align*}

따라서 일반해는 음함수 꼴의 12x4y+2x2y+y3=c\frac{1}{2}x^4y+2x^2y+y^3=c이다.

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2

미분방정식 (3xy+y2)+(x2+xy)y′=0(3xy+y^2) + (x^2+xy)y^\prime =0을 풀어라.

M(x,y)=3xy+y2,  N(x,y)=x2+xy M(x,y)=3xy+y^2,\ \ N(x,y)=x^2+xy

라고 하면,

My=3x+2y≠2x+y=Nx M_{y}=3x+2y \ne 2x+y=N_{x}

이므로 주어진 미분방정식은 완전하지 않다. 따라서 완전 미분방정식의 풀이법을 쓸 수 없다. 정말로 안 되는지 확인해보자. 완전 미분 방정식은 아니지만

ψx=M(x,y)=3xy+y2,ψy=N(x,y)=x2+xy \psi_{x}=M(x,y)=3xy+y^2,\quad \psi_{y}=N(x,y)=x^2+xy

를 만족하는 ψ\psi가 존재한다고 가정해보자. 완전 미분방정식이 풀이법을 따라가면

ψ=∫ψxdx=∫3xy+y2dx=32x2y+xy2+h(y)ψy=32x2+2xy+h′(y)=N(x,y)=x2+xy  ⟹  h′(y)=−12x2−xy \begin{align*} && \psi& =\int \psi_{x} dx = \int 3xy+y^2 dx = \frac{3}{2}x^2y+xy^2+h(y) \\ && \psi_{y}&=\frac{3}{2}x^2 + 2xy+h^\prime (y)=N(x,y)=x^2+xy \\ \implies && h^\prime (y) &= -\frac{1}{2}x^2-xy \end{align*}

이 결과는 h′(y)h^\prime(y)가 yy에만 의존하는 함수라는 것에 모순이다. 따라서 완전 미분방정식의 정의를 만족하는 ψ(x,y)\psi (x,y)는 존재하지 않는다.

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