📂상미분방정식

1계 선형 미분방정식의 적분인자법

정리¹

1계 선형 미분방정식 $\dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$의 해는 다음과 같이 주어진다.

$$ \begin{align*} y(x)&=\dfrac{1}{e^{\int p(x) dx}} \left[ \int e^{\int p(x) dx} q(x) dx +C \right] \\ &=e^{-\int p(x) dx}\int e^{\int p(x) dx} q(x) dx + e^{-\int p(x) dx}C \end{align*} $$

설명

$y^\prime+p(x)y=q(x)$ 꼴의 미분 방정식을 1계 선형 미분방정식이라고 한다. 여기서 $q(x)=0$이면 바로 변수분리가 가능하고 분리 가능한 미분방정식의 풀이대로 해를 구하면 된다. 하지만 $q(x) \ne 0$인 경우엔 바로 변수분리가 되지 않는다. 분리 가능한 미분방정식을 설명할 때 변수분리가 안되면 가능하게 만들어줘서 풀어준다고 했다. 그 방법중 하나가 바로 적분인자법^{method of integrating fator}이다.

증명

우선 주어진 미분방정식을 살펴보자

$$ \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) $$

이 상태로는 변수분리를 할 수 없으니 우리의 목적은 이 방정식을 분리가능하게 만들어 주는 것이다. 우선 양 변에 $\lambda (x)$를 곱해주자.

$$ \lambda (x) \dfrac{dy}{dx} + \lambda (x) p(x) y = \lambda (x) q(x) $$

이 때 곱해준 $\lambda (x)$가 다음의 조건

$$ \dfrac{d}{dx} \left( \lambda (x) y \right) = \lambda (x) \dfrac{dy}{dx} + \lambda (x) p(x) y $$

를 만족하는 함수라고 하자. 그러면 주어진 미분 방정식이 $\dfrac{d}{dx} \left( \lambda (x) y \right)=\lambda (x) q(x)$로 표현되어 분리 가능한 꼴로 바뀌게 된다. 그대로 양 변에 적분을 취해주면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} && \int \dfrac{d}{dx} \left(\lambda (x) y \right) &= \int \lambda (x) q(x) dx \\ \implies && \lambda (x) y&=\int \lambda (x) q(x) dx +C \\ \implies && y&=\dfrac{1}{\lambda (x)} \left[ \int \lambda (x) q(x) dx +C \right] \\ && &=\dfrac{1}{\lambda (x)} \int \lambda (x) q(x) dx + \dfrac{C}{\lambda (x)} \end{align*} $$

주어진 미분 방정식에 $\lambda (x)$를 곱하여 $x$에 대한 $y$의 일반식을 구해냈다. 여기서 적분상수 $C$가 포함된 항을 주의해야한다. 예를 들어 부정적분에서 여러 적분 상수가 나오면 전부 퉁쳐서 흔히 $C_{1}+C_2=C_{3}$와 같이 새로운 하나의 적분상수로 나타낸다. 하지만 $\lambda (x) ^{-1}C$에서 $\lambda (x)$는 상수가 아니므로 항 전체를 다시 새로운 상수$C_{1}$으로 나타내면 안된다.

이제 남은 문제는 이렇게 미분방정식을 풀게 해주는 $\lambda (x)$의 정체가 무엇이냐 하는 것이다. $\lambda (x)$의 조건으로부터 다음을 얻는다.

$$ \dfrac{d}{dx} \left( \lambda (x) y \right) = \dfrac{d \lambda (x)}{dx}y + \lambda (x) \dfrac{dy}{dx}=\lambda (x) \dfrac{dy}{dx} + \lambda (x) p(x) y $$

따라서

$$ \begin{align*} && \dfrac{d \lambda (x)}{dx}&=\lambda (x) p(x) \\ \implies && \dfrac{1}{\lambda (x) } d \lambda (x)&=p(x) dx \\ \implies && \ln \lambda (x) &=\int p(x) dx +C_{1} \\ \implies &&\lambda (x) &= Ce^{\int p(x) dx} \end{align*} $$

이 때 적분상수 $C_{1}$은 어차피 소거돼서 $\lambda (x) = e^{\int p(x) dx}$라고 써도 무관하다. 맨 처음에 $\lambda (x)$를 양 변에 곱해준걸 생각해보면 적분상수가 바로 약분됨을 쉽게 알 수있다. 이렇게 구한 $\lambda (x)$를 위에서 구한 $y(x)$에 대입하면

$$ \begin{align*} y(x)&=\dfrac{1}{e^{\int p(x) dx}} \left[ \int e^{\int p(x) dx} q(x) dx +C \right] \\ &=e^{-\int p(x) dx}\int e^{\int p(x) dx} q(x) dx + e^{-\int p(x) dx}C \end{align*} $$

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언뜻 보기에 이 방법으로 모든 1계 상미분방정식의 해를 구할 수 있을 것 같지만, 해에 등장하는 부정적분을 계산할 수 없으면 불가능하다. 즉 $\displaystyle \int p(x) dx$와 $\int e^{\int p(x) dx} q(x) dx $가 존재할 때만 해를 구할 수 있다.