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선형 결합, 생성 📂선형대수

선형 결합, 생성

정의: 선형결합1

w\mathbf{w}를 벡터공간 VV의 벡터라고 하자. 만약 ww를 VV의 벡터 v1,v2,⋯ ,vr\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r}와 임의의 상수 k1,k2,⋯ ,krk_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}에 대해 다음과 같이 표현할 수 있으면 w\mathbf{w}를 v1,v2,⋯ ,vr\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r}들의 선형결합linear combination 혹은 일차결합이라 한다.

w=k1v1+k2v2+⋯+krvr \mathbf{w} = k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r}

또한 이때 상수 k1,k2,⋯ ,krk_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}들을 선형결합 w\mathbf{w}의 계수coefficients라 한다.

설명

수식으로 나타낸 것이 낯설 수 있지만 어려울 것 없는 개념이다. 2차원 직교 좌표계에서의 벡터 표시가 바로 두 단위벡터 x^=(1,0)\hat{\mathbf{x}} = (1,0), y^=(0,1)\hat{\mathbf{y}} = (0,1)의 선형결합이다.

v=(v1,v2)=(v1,0)+(0,v2)=v1(1,0)+v2(0,1)=v1x^+v2y^ \mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}) = (v_{1},0)+(0,v_{2}) = v_{1}(1,0) + v_{2}(0,1) = v_{1}\hat{\mathbf{x}} + v_{2} \hat{\mathbf{y}}

정리

S={w1,w2,…,wr}S = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\}를 벡터공간 VV의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. 그러면 다음의 것들이 성립한다.

(a) SS의 원소들의 가능한 모든 선형결합들의 집합을 WW라고 하자. WW는 VV의 부분공간이다.

(b) (a) 의 WW는 SS를 포함하는 VV의 부분공간 중 가장 작은 부분 공간이다. 즉 W′W^{\prime}을 SS를 포함하는 VV의 부분공간이라고 하면 다음의 식이 성립한다.

S⊂W≤W′ S \subset W \le W^{\prime}

증명

(a)

부분공간 판별법에 의해 WW가 덧셈과 상수배에 대해서 닫혀있는지 확인하면 된다. 이를 위해서 다음과 같이 두자.

u=c1w1+c2w2+⋯+crwr,v=k1w1+k2w2+⋯+krwr \mathbf{u} = c_{1} \mathbf{w}_{1} + c_{2} \mathbf{w}_{2} + \cdots + c_{r} \mathbf{w}_{r}, \quad \mathbf{v} = k_{1} \mathbf{w}_{1} + k_{2} \mathbf{w}_{2} + \cdots + k_{r} \mathbf{w}_{r}

  • (A1)

    u+v\mathbf{u}+\mathbf{v}는 다음과 같다.

    u+v=(c1+k1)w1+(c2+k2)w2+⋯+(cr+kr)wr \mathbf{u} +\mathbf{v} = ( c_{1} + k_{1} ) \mathbf{w}_{1} + ( c_{2} + k_{2} ) \mathbf{w}_{2} + \cdots + ( c_{r} + k_{r} ) \mathbf{w}_{r}

    이는 w1,w2,…,wr\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r}들의 선형결합이므로 u+v∈W\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W이다.

  • (M1)

    임의의 상수 kk에 대해서 kuk\mathbf{u}는 다음과 같다.

    ku=(kc1)w1+(kc2)w2+⋯+(kcr)wr k\mathbf{u} = ( k c_{1} ) \mathbf{w}_{1} + ( k c_{2} ) \mathbf{w}_{2} + \cdots + ( k c_{r} ) \mathbf{w}_{r}

    이는 w1,w2,…,wr\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r}들의 선형결합이므로 ku∈Wk\mathbf{u} \in W이다.

  • 결론

    WW가 덧셈과 상수배에 대해서 닫혀있으므로 부분공간 판별법에 의해 WW는 VV의 부분공간이다.

    W≤V W \le V

■

(b)

W′W^{\prime}을 SS를 포함하는 VV의 부분공간이라고 하자. 그러면 W′W^{\prime}는 덧셈과 상수배에 대해서 닫혀있으므로 SS의 원소들의 모든 선형결합은 W′W^{\prime}의 원소이다. 따라서

W≤W′ W \le W^{\prime}

■

정의: 생성

정리의 WW를 SS에 의해서 생성된spanned VV의 부분공간이라고 한다. 또한 벡터 w1,w2,…,wr\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r}들이 WW를 생성한다span고 하며 이를 다음과 같이 표기한다.

W=span{w1,w2,…,wr}orW=span(S) W = \text{span}\left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\} \quad \text{or} \quad W = \text{span}(S)

설명

생성이라는 개념이 필요한 이유는 어떤 원소들을 포함하는 가장 작은 집합을 생각하기 위함이다. 실제로 위의 정리에서 이러한 점을 확인할 수 있다. 여기에 SS 자체에서도 중복되는 원소들을 모두 빼면 이는 벡터공간의 기저가 된다.

정리

S={v1,v2,…,vr}S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\}와 S′={w1,w2,…,wr}S^{\prime} = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\}을 벡터공간 VV의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. 그러면

span{v1,v2,…,vr}=span{w1,w2,…,wr} \text{span} \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\} = \text{span} \left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\}

가 성립할 필요충분조건은 SS의 모든 벡터들이 S′S^{\prime}의 벡터들의 선형결합으로 나타나고, S′S^{\prime}의 모든 벡터들이 SS의 벡터들의 선형결합으로 나타나는 것이다.

  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p220-222 ↩︎