📂통계적검정

기각역과 유의수준

정의 ¹

1. 귀무가설이 참임에도 불구하고 검정에서 귀무가설을 기각하는 오류를 제1종 오류라 한다.
2. 대립가설이 참임에도 불구하고 검정에거 귀무가설을 기각하지 못하는 오류를 제2종 오류라 한다.
3. 제1종 오류를 범할 확률의 최대값을 유의수준^{significance level}이라 한다.
4. 가설검정을 하기 위해 사용하는 통계량을 검정통계량^{test statistic}이라 한다.
5. 귀무가설을 기각시키는 검정통계량의 관측값의 영역을 기각역^{rejection region}이라 한다.

설명

아무리 데이터가 산더미같이 쌓여있고 정교한 수학적 기법을 적용시켰다고 한들 써먹지 못하면 의미가 없다. 여기서 ‘쓴다’는 것은 어떤 데이터에 대해 통계를 내고 그 통계를 근거로 어떠한 ‘주장을 한다’는 것이다. 이를 위해선 당연히 그 통계가 믿을만해야하고, 그걸 누가 무슨 잣대로 판단할 것이냐는 질문의 답이 가설 검정이다.

예시

위 데이터를 강북 고등학교 이과 3학년 1반부터 15반까지의 중간고사 평균 점수라고 하자. 한눈에 보아도 15반의 평균이 월등하게 높고, 표준화를 해보면 더욱 확실히 알 수 있게 된다. 그런데 이렇게 순위를 매기거나 전체 평균보다 높냐 낮냐를 따지는 건 쉽지만 ‘얼마나’ 잘하는지 못하는지는 따지기 어렵다. 평균 조금 차이 나는걸로 누가 낫네 마네해봤자 도토리 키재기밖에 안된다는 것이다. 분명 어느 정도 이상부터 ‘급이 다르다’고 말할 수 있긴할텐데, 그 정도가 어느정도인지가 모호하다.

여기서 Z-score가 자유도 $14$ 의 t-분포를 따른다는 걸 생각해보자.

$t_{14}$ 의 확률밀도함수와 평균의 분포를 함께 나타내보면 위 그림과 같이 나타난다. Z-score의 평균은 $0$ 이고, Z-score가 $0$ 에 가깝다는 것은 그만큼 원래 데이터가 ‘평균에서 멀지않은’ 데이터라는 의미가 된다. 반면 $0$ 에서 멀리 떨어진 Z-score의 원래 데이터는 높든 낮든 평균과 비슷하다고 말하기 어려울 것이다.

노란색으로 칠해진 영역의 넓이는 양쪽을 합쳐서 $\color{red}{0.05}$ 인데, 이는 데이터가 그 구간에 나타날 확률이 $\color{red}{0.05}$ 임을 나타낸다. 데이터가 여기에 속하는 것은 이론적으로 $\color{red}{5 \%}$ 확률의 매우 드문 경우고, 어쩌다가 우연히 나왔다기엔 그 차이가 너무 크다. 이렇게 평균과 다르면서 평균보다 점수가 높다면, 어쩌다 우연히가 아니라 실력 자체가 낫다고 말할 수 있지 않을까? 다시 예시로 돌아와보면 15반은 학급 전원이 그냥 어쩌다 시험을 잘 친것이라고 보기엔 비정상적으로 평균이 높은 것이다. 여기서 귀무가설 $H_{0}$ 가 ‘15반의 평균은 3학년 전체의 평균과 큰 차이가 없다’ 라면 귀무가설을 기각할 수 있겠다. 이때 노랗게 칠해진 구역이 ‘기각 시키는 구역’이라서 기각역^{rejection region}이라 부른다. 그리고 그 구역을 정할 때의 넓이가 ‘어느정도부터 의미 있는지의 정도’라서 유의수준^{significance Probability}이라 부른다. 한마디로 가설 검정은 ‘그저 우연이라고 보긴 힘들다’는 말을 통계로써 뒷받침하는 것이라고 할수 있다. 그걸 판단하는 건 기각역에 들어갔느냐 들어가지 않느냐고, 그 기준은 유의수준이 된다.

적어도 기각역과 유의수준에 대해서는 정확한 정의 그 자체보다 그 개념을 확실히 체득하는 것이 중요하다. 실제로 볼 일도 별로 없고 쓰지도 않는다고 등한시하면 정말 필요하고 기본기로써 바로바로 생각나야할 때 생각이 나지 않는다.

R 코드

아래는 본 포스팅에 사용된 R 코드다.

set.seed(150421);
avg<-signif(6*rnorm(15)+60,3); names(avg)<-paste0('(',(1:15),')'); avg
Z = scale(avg)[,1]; Z
 
win.graph()
plot(0,0,type='n',xlim=c(-4,4),ylim=c(-0.08,0.4),xlab='Z-score\',ylab='t',main='중간고사 결과')
 
abline(h=0)
lines(seq(-5,5,0.01),dt(seq(-5,5,0.01),df=14))
 
points(x=Z,y=rep(0,15),pch=16)
text(x=Z,-0.05,labels=paste0('(',(1:15),')'))
arrows(Z,-0.04,Z,-0.005,length=0.1)
 
 
 
win.graph()
plot(0,0,type='n',xlim=c(-4,4),ylim=c(-0.08,0.4),xlab='Z-score\',ylab='t',main='중간고사 결과')
 
polygon(c(seq(qt(0.975,14),5,0.01),qt(0.975,14)),
        c(dt(seq(qt(0.975,14),5,0.01),df=14),0),
        col='yellow',lty=0)
polygon(c(seq(-5,qt(0.025,14),0.01),qt(0.025,14)),
        c(dt(seq(-5,qt(0.025,14),0.01),df=14),0),
        col='yellow',lty=0)
abline(h=0)
lines(seq(-5,5,0.01),dt(seq(-5,5,0.01),df=14))
 
 
win.graph()
plot(0,0,type='n',xlim=c(-4,4),ylim=c(-0.08,0.4),xlab='Z-score\',ylab='t',main='중간고사 결과')
 
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text(x=Z,-0.05,labels=paste0('(',(1:15),')'))
arrows(Z,-0.04,Z,-0.005,length=0.1)

같이보기

• 기각역의 어려운 정의
• 제1종 오류와 제2종 오류의 차이