📂고전역학

운동 에너지

도입¹

물체에 힘이 작용하면 물체의 운동 상태가 변한다. 물체가 이동하는 과정에서 누적된 힘을 일^work이라 한다.

$$ W_{\mathbf{a}\mathbf{b}} = \int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} $$

뉴턴 제2법칙과 연쇄법칙에 의해 식을 다음과 같이 전개할 수 있다.

$$ \begin{align*} W_{\mathbf{a}\mathbf{b}} &= \int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} \\ &= \int m \mathbf{a} \cdot \dfrac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t \\ &= m \int \dfrac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} \cdot \mathbf{v} \mathrm{d}t \\ &\overset{4\text{th}}{=} \dfrac{m}{2} \int \dfrac{\mathrm{d}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t = \dfrac{m}{2} \int \mathrm{d} v^{2} \\[1em] &= \dfrac{m}{2} \left[ v^{2} \right]_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \\[1em] &= \dfrac{m}{2} \left( v_{\mathbf{b}}^{2} - v_{\mathbf{a}}^{2} \right) \end{align*} $$

네번째 등호는 $\dfrac{\mathrm{d}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})}{\mathrm{d}t} = 2\mathbf{v} \cdot \dfrac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}$이므로 성립한다. $v = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}$는 물체의 속력이다. 얻은 식을 다시 보자.

$$ W_{\mathbf{a}\mathbf{b}} = \dfrac{1}{2} m v_{\mathbf{b}}^{2} - \dfrac{1}{2} m v_{\mathbf{a}}^{2} \tag{1} $$

점 $\mathbf{a}$에서 점 $\mathbf{b}$까지 해준 일이, 각 점에서의 운동 상태 $\mathbf{v}_{\mathbf{a}}$와 $\mathbf{v}_{\mathbf{b}}$로 표현된다. 따라서 이 물리량을 아래와 같이 정의한다.

정의

$\mathbf{v}$의 속도로 선운동하는 물체의 운동 에너지^{kinetic energy}를 아래와 같이 정의한다.

$$ T = \dfrac{1}{2} m v^{2}, \quad v^{2} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} $$

운동량 $\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ 꼴로 나타내면,

$$ T = \dfrac{p^{2}}{2m} , \quad p^{2} = \mathbf{p} \cdot \mathbf{p} $$

설명

운동 에너지의 기호는 kinetic의 앞글자를 따서 $K$나 $E_{K}$로 쓰이기도 한다. $(1)$로부터, 운동에너지란 정지한 물체를 그 속도까지 가속하는데 필요한 일의 양이라는 것을 알 수 있다. 또한 운동에너지의 정의로부터 물체에 해준 일은 곧 운동 에너지의 변화량과 같다는 사실을 얻는다.

한편 도입에서 전개한 식에 의해 다음이 성립한다. 일-운동 에너지 정리의 미분형이기도 하다.

$$ \mathrm{d}T = \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} \quad \text{or} \quad \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} $$