📂선형대수

론스키안의 정의와 독립종속 판별

정의¹

$S=\left\{ f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n} \right\}$가 $n-1$번까지 미분가능한 함수들의 집합이라 하자. 이의 론스키언^Wronskian $W$를 다음과 같은 행렬식으로 정의한다.

$$ W(x) = W(f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}) := \begin{vmatrix} f_{1} & f_{2} & \cdots & f_{n} \\ f_{1}^{\prime} & f_2^{\prime} & \cdots & f_{n}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{1}^{(n-1)} & f_{2}^{(n-1)} & \cdots & f_{n}^{(n-1)} \end{vmatrix} $$

설명

미분 가능한 함수들의 집합 역시 벡터공간이 되는 함수공간이다. 함수들의 집합의 선형독립/종속을 판별하는 일반적인 방법은 없지만, 미분가능한 함수들에 대해서는 론스키언을 사용하여 선형독립성을 알아낼 수 있다.

아래에서 소개할 정리에서 가장 중요한 점은 명제가 필요충분이 아니라는 것이다. 역은 성립하지 않음을 확실하게 알아야 한다. $W(x) \ne 0$이면 선형 독립임을 알 수 있지만, $W(x)=0$일 때는 독립인지 종속인지 판단할 수 없다.

정리

$S$를 정의에서와 같은 집합이라고 하자. $S$의 론스키언이 $0$이 아니면, $S$는 선형독립이다.

증명

대우법으로 증명한다. 즉 $S$가 선형종속이면 론스키언 $W$가 항상 $0$임을 보일 것이다.

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$S=\left\{ f_{1},\ f_{2},\ \cdots,\ f_{n} \right\}$를 선형 종속이라고 가정하자. 그러면 정의에 의헤 아래의 등식을 만족하는 $0$이 아닌 $k_{i}(i=1,2,\dots,n)$가 존재한다.

$$ \begin{equation} k_{1} f_{1} + k_{2} f_{2} + \cdots + k_{n} f_{n} = 0 \label{eq1} \end{equation} $$

위의 식을 미분하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} k_{1} f_{1}^{\prime} + k_{2} f_{2}^{\prime} + \cdots + k_{n} f_{n}’&=0 \\ k_{1} f_{1}^{(2)} + k_{2} f_{2}^{(2)} + \cdots + k_{n} f_{n}^{(2)}&=0 \\ \vdots& \\ k_{1} f_{1}^{(n-1)} + k_{2} f_{2}^{(n-1)} + \cdots + k_{n} f_{n}^{(n-1)} &=0 \end{align*} $$

이 연립방정식을 행렬표현으로 바꾸면 아래와 같다.

$$ \begin{align*} \begin{pmatrix} f_{1} & f_{2} & \cdots & f_{n} \\ f_{1}^{\prime} & f_2^{\prime} & \cdots & f_{n}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{1}^{(n-1)} & f_{2}^{(n-1)} & \cdots & f_{n}^{(n-1)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{n} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \\ \mathbf{F} \mathbf{k} &= \mathbf{0} \end{align*} $$

이 때 위 식은 비자명해 $\mathbf{k} \ne \mathbf{0}$를 가진다. 그러면 동치조건에 의해서 $\mathbf{F}$는 가역행렬이 아니고, 행렬식은 $0$이다. $\mathbf{F}$의 행렬식은 론스키언이므로

$$ W(x) = 0,\quad \forall x \in \mathbb{R}. $$

따라서 $S$가 선형종속이면 론스키언 $W$가 항상 $0$이다.

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