📂측도론

보렐 집합

정의 ¹

$\mathcal{F}$ 를 유클리드 공간 $\mathbb{R}$ 의 시그마 필드라고 하자.

$\displaystyle \mathcal{B} : = \bigcap \left\{ \mathcal{F} : \mathcal{I} \subset \mathcal{F} \right\}$ 을 모든 구간의 집합 $\mathcal{I}$ 에 의해 생성되었다고 한다. $B \in \mathcal{B}$ 을 보렐 집합^{borel set}이라 하고, $\mathcal{B}$ 를 보렐 시그마 필드라 부른다.

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• $\mathcal{I}$ 는 모든 구간들의 집합이다.

설명

쉽게 말해 모든 구간을 가지는 시그마 대수 중에 가장 작은 시그마 대수다. 있을 건 다 있으면서 쓸모 없는 것을 쳐내고 필요한 것만 딱 남기는 이미지를 떠올리면 된다.

난해해보이는 정의와 달리 보렐 집합의 쓰임새는 다양하며, 특히 확률론을 기술할 때 유용하다. 정의에 따라 보렐 집합은 구간끼리의 합집합이나 교집합으로 나타나며, 그 예로써 구간, 열린 집합, 가산 집합 등이 있다. 여기서 보렐 시그마 필드의 진짜 의도를 읽을 수 있어야한다. 보렐 집합은 말 그대로 ‘구간’이어서 중요한 게 아니라 ‘열린 집합’과 ‘닫힌 집합’들로 만들어진 집합이라는 게 중요한 것이다.

이러한 보렐 집합을 생각함으로써 우리는 위상수학의 여러가지 정리들을 사용할 수 있게 된다. 사실 위상공간만 하더라도 측도론의 여러 응용분야에서 보기에는 충분히 일반적이고 추상적이다. 이러한 논의를 납득한다면 보렐 시그마 필드도 다음과 같이 간단하게 쉽게 받아들일 수 있게 된다:

• 보렐 시그마 필드는 그냥 위상수학을 쓰려고 제한을 준 것이다.
• 보렐 시그마 필드는 꽤 작아서 고려해야할 것이 많지 않다.
• 그래서 어지간한 정리에서는 전제로써 보렐 시그마 필드만 가정하는 편이다.

집합의 집합의 집합의 교집합

보렐 시그마 필드의 정의가 솔직히 역겹긴 하다. 우선 구간이 집합이니 $\mathcal{I}$ 는 당연히 집합의 집합이다. 그런데 $\mathcal{I}$ 를 포함하는 시그마 필드를 모아놓은 집합을 생각하니까 집합의 집합의 집합이다. 거기서 교집합을 취한 게 보렐 시그마 필드다. 알아먹기 어려운 게 정상이다.

정리

$\mathcal{M}$ 를 $X = \mathbb{R}$ 의 가측 집합들의 집합인 시그마 대수, 즉 모든 구간을 포함하는 어떤 시그마 필드라 하자. 이에 대해 다음이 성립한다.

• [1] σ-필드끼리의 교집합은 σ-필드고, 따라서 $\mathcal{B}$ 역시 σ-필드다.
• [2]: $\mathcal{B}$ 는 모든 구간을 포함하는 가장 작은 σ-필드다.
• [3]: $\mathcal{N} \subseteq \mathcal{B} \subsetneq \mathcal{M}$
• [4]: 모든 $ E \in \mathcal{M}$ 에 대해 다음을 만족하는 $B \in \mathcal{B}$ 가 존재한다. $$ E \subset B \\ m(E ) = m(B) \\ m(B \setminus E) = 0 $$

일반화

• 일반적인 보렐 집합