📂위상수학

위상공간에서 컴팩트, 프리컴팩트란?

정의 ¹

위상공간 $\left( X, \mathscr{T} \right)$ 에 대해 $A \subset X$ 라고 하자.

1. $X$ 의 열린 집합으로 이루어진 집합 $\mathscr{O} \subset \mathscr{T}$ 가 다음을 만족하면 $\mathscr{O}$ 를 $A$ 의 오픈 커버링^{open covering}라 한다. $$A \subset \bigcup_{O \in \mathscr{O}} O$$
2. $\mathscr{O} ' \subset \mathscr{O}$ 인 $\mathscr{O} '$ 를 $\mathscr{O}$ 의 부분 커버^subcover라 한다. 특히 $\mathscr{O} '$ 의 기수가 자연수면 유한 부분커버^{finite subcover}라 한다.
3. $X$ 의 모든 열린 커버가 유한 부분 커버를 가지면 $X$ 가 컴팩트하다고 한다. 다시 말해, 모든 열린 커버 $\mathscr{O}$ 에 대해 다음을 만족하는 유한 집합 $\mathscr{O} ' = \left\{ O_{1} , \cdots , O_{n} \right\} \subset \mathscr{O}$ 이 존재하면 $X$ 는 컴팩트하다. $$X = \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}$$
4. $A$ 가 $X$ 의 부분공간으로써 컴팩트면 $A$ 를 컴팩트하다고 한다.
5. $X$ 를 위상공간이라고 하자. 부분 집합 $K \subset X$ 의 클로져 $\overline{K}$가 컴팩트일 때 $K$가 프리컴팩트하다, 혹은 상대적으로 컴팩트^{relatively compact}하다고 말한다.

설명

컴팩트

해석개론에서 컴팩트라는 조건이 얼마나 유용했는지를 생각해본다면 그 일반화를 추구하는 것은 당연하다고 할 수 있을 것이다. 일반화가 되면서 말이 좀 더 어려워지긴 했지만 본질적인 부분은 달라진 게 없다.

실제로 컴팩트는 여러가지 이론에서 아주 중요하게 응용된다. 어떤 집합이 컴팩트라는 것은 유한한 조각으로 나눠서 생각할 수 있다는 것이므로 엄밀성이 요구되는 증명에서 좋은 조건이 될 수밖에 없다. 거꾸로 말해서, 어떤 정리를 증명할 때 등장하는 집합 $A$ 가 정말 컴팩트인지를 보이는 것이 관건이 되는 경우가 무척 많다.

프리컴팩트

프리컴팩트는 $K$ 자체는 컴팩트가 아닐지라도 $K$ 에 클로져를 취하면 컴팩트가 된다는 점에서 ‘아직 컴팩트는 아니지만 곧 컴팩트가 될 수 있다’는 개념을 잘 설명하는 표현이다. 거리 공간에서는 완전 유계 공간이라고도 하며, 또 다른 명칭인 상대적 컴팩트는 닫힘 자체가 상대적인 것에서 나온 표현이다. $K$ 를 $X$ 의 부분공간이 아니라 그 자체로써 전체 공간이 된다면 $K$ 는 $K$ 에서 닫혀 있으므로 $K = \overline{K}$ 이고, 따라서 $\overline{K}$ 가 컴팩트라는 말은 곧 $K$ 가 (상대적으로) 컴팩트라는 말이 된다.

한편 수열의 표현으로 프리컴팩트를 정의할 수 있다. 그 때의 정의는 다음과 같다:

$K \subset X$ 가 프리컴팩트라는 것은 $K$ 에서 정의된 모든 수열 $\left\{ x_{n} \right\} \subset K$ 에 대해 $x \in X$ 로 수렴하는 부분수열 $\left\{ x_{n '} \right\} \subset \left\{ x_{n} \right\}$ 이 존재하는 것이다.

수식으로 다시 표현하면 다음과 같다:

$$K : \text{precompact} \iff \forall \left\{ x_{n} \right\} \subset K, \exists \left\{ x_{n '} \right\} \subset \left\{ x_{n} \right\} : x_{n '} \to x \in X \text{ as } n \to \infty$$

특히 조건에서 $x \in X$ 가 아니라 $x \in K$ 일 때 $K$ 를 점렬 컴팩트^{sequentially compact}라 한다.

정리

• [1]: $A$ 가 컴팩트인 것은 $A$ 의 모든 열린 커버가 유한 부분 커버를 갖는다는 것과 동치다.
• [2]: 컴팩트 집합 $K$ 의 부분집합 $F$ 가 닫힌 집합이면 $F$ 는 컴팩트 집합이다.
• [3]: $X$ 가 컴팩트인 것은 $X$ 의 닫힌 집합들만을 포함하는 모든 집합족들이 유한 교집합 성질을 가지면 그냥 교집합을 취해도 공집합이 아닌 것과 동치다.

증명

[1]

$\Gamma$ 는 인덱스 집합이다.

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$( \implies )$

$A \subset X$ 가 컴팩트고 $\mathscr{U} := \left\{ U_{\alpha} : \alpha \in \Gamma \right\}$ 가 $A$ 의 오픈 커버라고 하자. 그러면 $U_{\alpha} \cap A$ 는 $X$ 의 부분공간 $A$ 에서 열린 집합이고, $\mathscr{O} := \left\{ U_{\alpha} \cap A : U_{\alpha} \in \mathscr{U} \right\}$ 는 $A$ 의 오픈 커버가 된다. $A$ 는 컴팩트이므로 $\displaystyle A \subset \bigcup_{i=1}^{n} \left( U_{\alpha_{i}} \cap A \right)$ 을 만족하는 $\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{n} \in \Gamma$ 가 존재한다. 그러면 $\left\{ U_{\alpha_{1}} , \cdots , U_{\alpha_{n}} \right\}$ 은 $\mathscr{U}$ 의 유한 부분 커버로써 존재함을 확인할 수 있다.

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$( \impliedby )$

$A$ 에서 열린 집합으로 이루어진 열린 커버 $\mathscr{O} := \left\{ O_{\alpha} : O_{\alpha} \text{ is open in } A, \alpha \in \Gamma \right\}$ 를 생각해보자. $O_{\alpha}$ 가 $A$ 에서 열린 집합이므로, 각각의 $\alpha \in \Gamma$ 에 대해 $U_{\alpha} \cap A = O_{\alpha}$ 를 만족하는 열린 집합 $U_{\alpha}$ 가 존재한다. 이들의 집합 $\mathscr{U} := \left\{ U_{\alpha} : \alpha \in \Gamma \right\}$ 는 $A$ 의 열린 커버다. 가정에서 모든 열린 커버가 유한 부분 커버 $\left\{ U_{\alpha_{1}} , \cdots , U_{\alpha_{n}} \right\}$ 를 가지므로 $\left\{ O_{\alpha_{1}} , \cdots , O_{\alpha_{n}} \right\}$ 는 $\mathscr{O}$ 의 부분 유한 커버가 된다.

■

[2]

$$F \subset K \subset X$$ $F$ 는 $X$ 에서 닫힌 집합이고 $F$ 의 열린 커버를 $\left\{ U_{\alpha} \right\}_{\alpha}$, $K$ 는 컴팩트라고 하자. $F$ 는 닫힌 집합이므로 $F^{c}$ 는 $X$ 에서 열린 집합이고, 따라서 $\left\{ F^{c} \right\} \cup \left\{ U_{\alpha} \right\}_{\alpha}$ 역시 $K$ 의 열린 커버 중 하나가 된다. $K$ 가 컴팩트이므로 $F \subset K \subset \Phi$ 를 만족하는 $\left\{ F^{c} \right\} \cup \left\{ U_{\alpha} \right\}_{\alpha}$ 의 유한 부분 커버 $\Phi$ 가 존재한다.

• 만약 $F^{c}\notin \Phi$ 이면 $\Phi$ 는 $\left\{ U_{\alpha} \right\}_{\alpha}$ 의 유한 부분 커버가 되므로 $F$ 는 컴팩트다.
• 만약 $F^{c}\in \Phi$ 라면 $\Phi \setminus \left\{ F^{c} \right\}$가 $\left\{ U_{\alpha} \right\}_{\alpha}$ 의 유한 부분 커버가 되므로 $F$ 는 컴팩트다.

가능한 두 경우 모두에서 $F$가 컴팩트이므로 $F$ 는 컴팩트다.

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[3]

전략: 말이 정말 복잡하기 때문에 말을 이해하는 것이 관건이다. $\mathscr{C}$ 가 유한 교집합 성질을 가진다고 해서 $\displaystyle \bigcap_{C \in \mathscr{C}} C \ne \emptyset$ 이 보장되는 게 아니며, 컴팩트라는 조건이 필요하다. 한편 컴팩트의 정의에서는 열린 집합들의 합집합을 따졌고, 이 정리에서는 닫힌 집합들의 교집합을 따지고 있는 것에 주목해야한다. 이러한 고찰에서 유한 교집합 성질이 어떠한 방식으로 컴팩트와 관계를 가지고 있을지 감을 잡고 증명에 들어가야한다.

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$\Gamma$ 는 인덱스 집합이다.

유한 교집합 성질: $X$ 의 부분집합으로 이루어진 집합족 $\mathscr{A} \subset \mathscr{P}(X)$ 가 유한 교집합 성질(f.i.p, finite intersection property)을 갖는다는 것은 $\mathscr{A}$ 의 모든 유한 부분집합 $A \subset \mathscr{A}$ 이 교집합을 취했을 때 공집합이 아닌 것이다. 수식으로는 다음과 같다. $$\forall A \subset \mathscr{A}, \bigcap_{a \in A} a \ne \emptyset$$

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$( \implies )$

$X$ 가 컴팩트고 $\mathscr{C} := \left\{ C_{\alpha} : C_{\alpha} \text{ is closed in } X, \alpha \in \Gamma \right\}$ 가 유한 교집합 성질을 가진다고 하자.이제 $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \Gamma} C_{\alpha} = \emptyset$ 이라고 가정하고 $\mathscr{O} := \left\{ X \setminus C_{\alpha} : C_{\alpha} \in \mathscr{C} \right\}$ 를 잡자. 그러면 $$\begin{align*} \bigcup_{\alpha \in \Gamma} ( X \setminus C_{\alpha}) =& X \setminus \bigcap_{\alpha \in \Gamma} C_{\alpha} \\ =& X \setminus \emptyset \\ =& X \end{align*}$$ 이므로 $\mathscr{O}$ 는 $X$ 의 열린 커버가 된다. $X$ 는 컴팩트이므로, $\mathscr{O}$ 는 유한 부분 커버 $\displaystyle \left\{ (X \setminus C_{\alpha_{1}}) , \cdots ,(X \setminus C_{\alpha_{n}}) \right\}$ 를 갖는다. 이는 다시 말해 $$X = \bigcup_{i=1}^{n} ( X \setminus C_{\alpha_{i}}) = X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} C_{\alpha_{i}}$$ 이므로, $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} C_{\alpha_{i}} = \emptyset$ 임을 함의한다. 이는 $\mathscr{C}$ 가 유한 교집합 성질을 가진다는 가정에 모순이다. 따라서 $\displaystyle \bigcap_{C \in \mathscr{C}} C \ne \emptyset$ 이어야한다.

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$( \impliedby )$

$X$ 의 열린 커버 $\mathscr{O} := \left\{ O_{\alpha} : O_{\alpha} \text{ is open in } A, \alpha \in \Gamma \right\}$ 과 $\mathscr{C} := \left\{ X \setminus O_{\alpha} : O_{\alpha} \in \mathscr{O} \right\}$ 을 생각해보자. $$\begin{align*} \bigcap_{\alpha \in \Gamma} C_{\alpha} &= \bigcap_{\alpha \in \Gamma} ( X \setminus O_{\alpha}) \\ =& X \setminus \bigcup_{\alpha \in \Gamma} O_{\alpha} \\ =& X \setminus X \\ =& \emptyset \end{align*}$$ 이므로 대우법에 따라 $\mathscr{C}$ 는 유한 교집합 성질을 가지지 않는다. 이는 다시 말해 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} C_{\alpha_{i}} = \emptyset$ 을 만족하는 $C_{\alpha_{1}} , \cdots , C_{\alpha_{n}} \in \mathscr{C}$ 가 존재한다는 것이다. 그러면 $$\begin{align*} X \setminus \bigcup_{i=1}^{n} O_{i} =& X \setminus \bigcup_{i=1}^{n} (X \setminus C_{i}) \\ =& X \setminus \left( X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} \right) \\ =& \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} \\ =& \emptyset \end{align*}$$ 이므로 $\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}$이다. 다시 말해 열린 커버 $\mathscr{O}$ 에 대해 유한 부분 커버가 존재하므로 컴팩트가 된다.

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같이보기

• 거리공간에서의 컴팩트