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e^{x^2} 꼴의 부정적분

정리

$$\int e^{x^2}dx = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!}+C$$

설명

$e^{-x^{2}}$꼴과 마찬가지로 일반적인 방법으로 적분하기는 어렵다. 오차 함수^{error function, imaginary error function, erfi}라는 함수를 정의해서 적분하는 방법도 있지만 이 글에서는 테일러 급수 전개를 이용한 풀이를 소개한다.

증명

테일러 급수 전개 방법에 의해

$$e^{x} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \dfrac{x^{2}}{2!} + \cdots + \dfrac{x^{n}}{n!} + \cdots$$

$x$ 대신에 $x^2$을 대입하면

$$e^{x^2}=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^{2n}}{n!}=1+x^2+\dfrac{x^4}{2!}+\cdots +\dfrac{x^{2n}}{n!}+\cdots$$

양변을 부정적분 하면

$$\begin{align*} \int e^{x^2}dx =&\ \int (1+x^2+\dfrac{x^4}{2!}+\cdots +\dfrac{x^{2n}}{n!}+\cdots)dx \\ =&\ x + \dfrac{x^3}{3 \cdot 1!} + \dfrac{x^5}{5 \cdot 2!}+\dfrac{x^7}{7 \cdot 3!}+ \cdots +\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!}+\cdots +C \end{align*}$$

그러므로

$$\int e^{x^2}dx=\sum \limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!}+C$$

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