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포커 족보별 경우의 수 확률 구하기

문양과 끗수의 정의

확률 이전에 포커 자체를 잘 모른다면 족보를 찾아서 알아보는 걸 추천한다. 확률을 구하기에 앞서 두 가지 정의를 내리자:

• 문양: 집합 {♠,◇,♤,♣}의 원소
• 끗수: 집합 {A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K}의 원소

만약 두 가지 이상의 족보를 동시에 만족하면 높은 걸 따른다. 아래의 확률들은 5장을 뽑고 그때의 족보가 가장 높은 경우를 가정한 것이다.

원페어

• 패에 끗수가 서로 같은 카드 1 쌍이 존재쌍이 될 끗수를 하나 고름 $( _{ 13 }{ { C }_{ 1 } }=13)$
• 문양을 4개 중 2개를 고름 $( _{ 4 }{ { C }_{ 2 } })$
• 처음 고른 쌍과 다른 세 끗수를 고름 $( _{ 12 }{ { C }_{ 3 } })$
• 선택된 세 카드의 문양을 고름 $( _{ 4 }{ { C }_{ 1 } }\times _{ 4 }{ { C }_{ 1 } }\times _{ 4 }{ { C }_{ 1 } }={ 4 }^{ 3 })$ $$\therefore \frac { 13\times _{ 4 }{ { C }_{ 2 }\times _{ 12 }{ { C }_{ 3 }\times { 4 }^{ 3 } } } }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$

주의할 점은 처음 고른 쌍과 다른 세 숫자를 고를 때, 저것 대신 48x47x46을 써서는 안 된다는 것이다. 왜냐하면 48x47x46은 남은 48장의 카드 중 3장을 뽑아 순서를 고려해 나열하는 것, 즉 순열이기 때문이다.

투페어

• 패에 끗수가 서로 같은 카드 1쌍이 존재쌍이 될 끗수를 둘 고름 $( _{ 13 }{ { C }_{ 2 } })$
• 선택된 두 쌍의 문양을 고름 $( _{ 4 }{ { C }_{ 2 } }\times _{ 4 }{ { C }_{ 2 } }={ 6 }^{ 2 })$
• 처음 고른 쌍과 다른 끗수를 고름 $( _{ 11 }{ { C }_{ 1 } }=11)$
• 선택된 카드의 문양을 고름 $( _{ 4 }{ { C }_{ 1 } }=4)$ $$\therefore \frac { _{ 13 }{ { C }_{ 2 } }\times { 6 }^{ 2 } \times 11\times 4 }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$

그냥 원페어처럼 구하려다가는 끗수를 잘못 골라 틀릴 수 있다. 첫 쌍이 될 끗수 따로 두번째 쌍이 될 끗수 따로 구하면 쌍에 순서가 생겨버리기 때문이다.

트리플

• 끗수가 서로 같은 카드 3장이 존재서로 같을 카드 3장의 끗수을 고름 $( _{ 13 }{ { C }_{ 1 } }=13)$
• 선택된 끗수에서 문양을 고름 $( _{ 4 }{ { C }_{ 3 } }=4)$
• 처음 고른 끗수와 다른 두 끗수를 고름 $( _{ 12 }{ { C }_{ 2 } })$
• 선택된 두 끗수의 문양을 고름 $(4\times 4= { 4 }^{ 2 })$ $$\therefore \frac { 13\times 4\times _{ 12 }{ { C }_{ 2 } }\times { 4 }^{ 2 } }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$ 별로 어려울 것 없다.

스트레이트

• A=1, J=11, Q=12, K=13이라 했을 때 5장 각각의 끗수가 연속이거나 A,K,Q,J,10이 존재, A~5에서 9~K까지 9가지, 혹은 A,K,Q,J,10 $(9+1=10)$5장의 문양을 고름 $(4\times 4\times 4\times 4\times 4={ 4 }^{ 5 })$
• 단, 스트레이트 플러쉬 이상인 경우를 제외 $(4\times 10=40)$ $$\therefore \frac { 10\times { 4 }^{ 5 } -40 }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$

표현이 조금 어려운데 하여튼 연속된 끗수로 다섯장을 채우면 된다는 이야기다.

플러쉬

• 다섯 카드의 문양이 모두 같음네 문양 중 하나를 고름 $( _{ 4 }{ { C }_{ 1 } }=4)$
• 같은 문양 중 다섯개를 고름 $( _{ 13 }{ { C }_{ 5 } })$
• 단, 스트레이트 플러쉬 이상인 경우를 제외 $(4\times 10=40)$ $$\therefore \frac { 4\times _{ 13 }{ { C }_{ 5 }-40 } }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$

스트레이트 플러쉬 때문에 40을 빼는 것이 중요하다.

풀하우스

• 서로 다른 두 끗수에 대해 원페어면서 트리플원페어가 될 끗수를 고름 $( _{ 13 }{ { C }_{ 1 } }=13)$
• 원페어의 문양을 고름 $( _{ 4 }{ { C }_{ 2 } })$
• 트리플이 될 끗수를 고름 $( _{ 12 }{ { C }_{ 1 } }=12)$
• 트리플의 문양을 고름 $( _{ 4 }{ { C }_{ 3 } })$ $$\therefore \frac { 13\times _{ 4 }{ { C }_{ 2 } }\times 12\times _{ 4 }{ { C }_{ 3 } } }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$

원페어 나올 경우의 수랑 트리플 나올 경우의 수랑 대뜸 곱해놓고 풀하우스라고 우기면 안 된다.

포카드

• 끗수가 서로 같은 카드가 4장이 존재서로 같을 카드 4장의 끗수를 고름 $( _{ 13 }{ { C }_{ 1 } }=13)$
• 나머지 카드 한 장을 고름 $( _{ 48 }{ { C }_{ 1 } }=48)$ $$\therefore \frac { 13\times 48 }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$

원페어가 같은 끗수에서 두 번 나온다고 생각하면 쉽다.

스트레이트 플러쉬

• 스트레이트면서 플러쉬 $(10\times 4=40)$
• 단, 로얄 스트레이트 플러쉬를 제외 $(4)$ $$\therefore \frac { 40-4 }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$

로얄 스트레이트 플러쉬

• A,K,Q,J,10이 존재하고 플러쉬이므로 네가지 뿐이다. $$\therefore \frac { 4 }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$