미분 방정식의 정의와 예
정의
한 개 또는 그 이상의 종속변수를 한 개 또는 그 이상의 독립변수에 대해 미분한 도함수들을 포함하는 방정식을 미분방정식differential equation이라 한다.
$$ \dfrac{dy}{dx}=y $$
$$ \dfrac{d^2y}{dx^2} = y $$
설명
대부분의 물리적인 상황은 1계 혹은 2계 미분방정식으로 표현할 수 있다.
낙하하는 물체
$$ F=ma=mg $$
$$ v=\dfrac{dy}{dt} $$
$$ a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{dy}{dt} \right)=\dfrac{d^2y}{dt^2} $$
$$ \dfrac{d^2y}{dt^2}=g $$
스프링 질량계
$$ F=ma=-ky $$
$$ a= -\dfrac{k}{m}y $$
$$ \dfrac{d^2y}{dt^2}=-\dfrac{k}{m}y $$
$$ \dfrac{d^2y}{dt^2}+\dfrac{k}{m}y=0 $$
이 때 $ w^2=\dfrac{k}{m}$이라고 하면,
$$ \dfrac{d^2y}{dt^2}+w^2y=0 $$
RLC circuit
$$ L\dfrac{d^2q}{dt^2}+R\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{1}{c}q=V(t) $$
슈뢰딩거 방정식
$$ i\hbar \dfrac{\partial \psi}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^2 }{2m} \dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + u(x)\psi $$