📂집합론

단사, 전사, 전단사, 역함수

정의 ¹

$x \in X$ 이고 $y \in Y$ 그리고 $f: X \to Y$ 가 함수라고 하자.

1. 모든 $x_{1}, x_{2} \in X$ 에 대해 $x_{1} \ne x_{2} \implies f(x_{1}) \ne f(x_{2})$ 면 $f$ 를 단사^injective라고 한다.
2. $f(X) = Y$ 면 $f$ 를 전사^surjective라고 한다.
3. $f$ 가 단사면서 전사면 전단사^bijective라고 한다.
4. $I(x) = x$ 를 만족하는 $I : X \to X$ 를 항등함수^{identity function}라고 한다.
5. 모든 $x, y$ 에 대해 $f(x) = y$ 고 $f^{-1} (y) = x$ 를 만족하는 $f^{-1} : Y \to X$ 를 $f$ 의 역함수^{inverse function}라고 한다.

기초 성질

• [1]: 항등함수는 전단사다.
• [2]: $f$ 가 전단사인 것과 역함수 $f^{-1}$ 가 존재하는 것은 동치다.

설명

• 단사를 일대일^one-to-one, 혹은 일대일 함수라고도 한다.
• 전사를 onto라고도 한다.
• 전단사를 일대일 대응^{1-1 corresponding}이라고도 한다.

입시 수학에서 정말 중요하지 않게 생각하지만 너무나 중요한 개념이 바로 일대일 대응이다. 수학에 쩔쩔매는 많은 학생들이 이러한 사실을 들어본 적도 없다고 생각하거나, 들어는 봤어도 문제풀이에 쓸데가 없다고 여긴다. 아주 틀린 말은 아니지만 이 정도를 잘 모른다면 문제풀이에 필요한 것들도 잘 모를 가능성이 높다.

나름 잘하는 학생도 고등학교를 잘 넘기고 학부수준의 수학을 접하면 그때서야 진정으로 전단사를 몸으로 받아들이는 경우가 많다. 일대일 대응은 집합론 뿐만 아니라 넓고 넓은 수학의 세계에서 그것이 어떤 과목인지를 가리지 않고 가장 중요한 개념이다. 그러나 그만큼 강력하고 좋은 조건이므로, 역설적이게도, 수학자들은 전단사의 조건을 완화하는 쪽으로 연구를 하게 된다. 어떻게하면 다른 조건에서 전단사임을 유도할 수 있는가, 실제론 전단사가 아님에도 전단사처럼 쓸 수 있는가 등이다.

얼마나 중요한지를 대충 설명하자면 ‘정말 중요하니까 정확히 알아둬야한다’는 말도 필요 없을 정도다. 좋든 싫든 온갖 과목에서 전단사가 나오기 때문에 오히려 졸업할 때까지 전단사를 정확히 모르는 게 더 어려울 것이다.