📂추상대수

추상대수학에서의 잉여류와 정규부분군

정의 ¹

1. 군 $G$ 과 그 부분군 $H$ 에 대해 $aH = \left\{ ah \ | \ h \in H \right\}$ 를 좌잉여류^{left Coset}, $Ha = \left\{ ha \ | \ h \in H \right\}$ 를 우잉여류^{right Coset}이라 한다. 여기서 $a \in G$ 고 $aH, Ha \subset G$ 다.
2. $H \leqslant G$ 의 좌(우)잉여류의 갯수를 $(G : H)$ 라 쓰고 $G$ 에서 $H$ 의 인덱스^index라 한다.
3. $H$ 가 $G$ 의 부분군이고 모든 $g \in G$ 에 대해 $gH = Hg$ 면 $H$ 를 $G$ 의 정규부분군^{normal Subgroup}이라 하고 $H \triangleleft G$ 로 쓴다.
4. $H = \left\{ e \right\}$ 혹은 $H = G$ 가 아닌 $H \triangleleft G$ 를 가지지 않는 $G \ne \left\{ e \right\}$ 를 단순^simple하다고 한다. 다시 말해, $G$ 가 단순하다는 것은 $\left\{ e \right\}$ 와 $G$ 스스로만을 정규부분군으로 갖는다는 것이다.

설명

잉여류

잉여류에 대한 아이디어는 필연적으로 대수학을 한차원 높은 곳으로 이끌게 된다.

예를 들어 $3$ 의 배수만 모아놓은 집합 $3 \mathbb{Z} = \left\{ \cdots, -6, -3, 0 , 3, 6 , \cdots\right\}$ 는 군이고, 특히 $\mathbb{Z}$ 가 가환군이므로 $3 \mathbb{Z} \triangleleft \mathbb{Z}$ 가 성립한다.

한편 여기에 정수를 더한다고 생각해보면 $$ \begin{align*} 1 + 3 \mathbb{Z} =& \left\{ \cdots, -5, -2, 1 , 4, 7 , \cdots\right\} \\ 2 + 3 \mathbb{Z} =& \left\{ \cdots, -4, -1, 2 , 5, 8 , \cdots\right\} \\ 3 + 3 \mathbb{Z} =& \left\{ \cdots, -3, 0 , 3, 6 , 9 , \cdots\right\} = 3 \mathbb{Z} \\ 4 + 3 \mathbb{Z} =& \left\{ \cdots, -2, 1 , 4, 7 , 10 , \cdots\right\} = 1 + 3 \mathbb{Z} \\ 5 + 3 \mathbb{Z} =& \left\{ \cdots, -1, 2 , 5, 8 , 11 , \cdots\right\} = 2 + 3 \mathbb{Z} \end{align*} $$ 이는 마치 $\pmod{3}$ 에서 정수의 덧셈을 하는 것과 유사한 모양새가 된다.

즉 $\mathbb{Z}_{3} : = \left\{ 3 \mathbb{Z} , 1 + 3 \mathbb{Z} , 2 + 3 \mathbb{Z}\right\}$ 와 같이 집합들을 원소로 갖는 새로운 군을 생각할 수 있는 것이다. 이런 방식으로 새로이 만들어지는 군을 몫군이라고 한다. 처음 배울땐 상당히 이해하기가 어려운 개념인데, 보통은 잉여류^coset에 대한 몰이해가 그 원인이다. 별 것 아닌 것 같고 안 쓰이는 것 같다고 만만하게 보지 말고 확실하게 손으로 써가며 잉여류를 이해해야 뒷부분이 편하다.

인덱스

좌면 좌고 우면 우인데 좌(우)라 쓴 이유는 딱히 구분할 필요가 없기 때문이다. 원래 인덱스는 좌잉여류의 갯수로써 정의되지만, 사실 우잉여류와 일대일대응이 존재해서 우잉여류의 갯수로 정의해도 된다.²

정규성

$gH$ 과 $Hg$ 이 군이 되는지 확인하고 $gH = Hg$ 가 되는지 확인하는 것은 언뜻 교과과정에서 배운 연속의 정의를 떠올리게 만든다. 무려 정규^normal라는 말이 붙은만큼 상당히 강력한 조건이고, 유용한 성질이 많다는 것을 짐작할 수 있을 것이다.

정의에서 즉시 알 수 있는 사실로는 $G$ 의 항등원 $e$ 에 대해 $\left\{ e \right\} \triangleleft G$ 가 있다. 조금 생각해보면 알 수 있는 것은 가환군 $G$ 에 대해 $H \leqslant G$ 면 $H \triangleleft G$ 정도가 있다.

단순성

예를 들어 소수 $p$ 에 대해 $\mathbb{Z}_{p}$ 는 자명군 혹은 자기자신 외에 부분군을 갖지 않으므로 단순군이 된다.

같이보기

• 잉여류의 성질