📂추상대수

짝이면서 홀인 순열은 존재하지 않음을 증명

정의

유한 대칭군의 순열이 짝수 만큼의 전위의 곱으로 나타날 수 있으면 짝^even이라 하고 홀수 만큼의 전위의 곱으로 나타날 수 있으면 홀^odd라 한다.

설명

짝과 홀의 정의 자체는 상당히 자연스럽지만, 정의 자체만 보아서는 짝이거나 홀이거나 둘 중 하나여야하는 배타성이 있다고 볼 수 없다. 다음의 정리를 통해 확인해보자.

정리 ¹

짝이면서 홀인 순열은 존재하지 않는다.

증명

유한대칭군 $S_{n}$ 의 전위 $\tau : = ( i , j )$ 와 순열 $\sigma$ 를 생각해보자.

유한대칭군의 모든 순열은 서로소인 순환들의 합성으로 나타낼 수 있다.

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Case 1. $i$ 와 $j$ 가 $\sigma$ 의 서로 다른 두 궤도의 원소인 경우

$i$ 와 $j$ 가 같은 궤도의 원소가 아니므로 어떤 $r, m \in \mathbb{Z}$ 에 대해 서로소인 두 순환의 곱 $\sigma = (i , i_{1} , \cdots , i_{m}) (j , j_{1} , \cdots , j_{r})$ 와 같이 나타낼 수 있다. 그러면 전위의 성질에 의해 $$\begin{align*} \tau \sigma =& (i , j) \sigma \\ =& (i , j) (i , i_{1} , \cdots , i_{m}) (j , j_{1} , \cdots , j_{r}) \\ =& (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j ) ( j , j_{1} , \cdots , j_{r}) \\ =& ( j , i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) ( j , j_{1} , \cdots , j_{r}) \\ =& ( j , j_{1} , \cdots , j_{r} , i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \end{align*}$$ 따라서 $\tau \sigma$ 는 $i$ 와 $j$ 가 같은 궤도의 원소에 속하게 되고, $\sigma$ 와 $\tau \sigma$ 의 궤도의 수는 $1$ 만큼 차이가 난다.

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Case 2. $i$ 와 $j$ 가 $\sigma$ 의 한 궤도의 원소인 경우

$i$ 와 $j$ 가 같은 궤도의 원소이므로 어떤 $r, m \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $\sigma = ( i , i_{1} , \cdots , i_{m}, j , j_{1} , \cdots , j_{r} )$ 와 같이 나타낼 수 있다. 그러면 전위의 성질에 의해 $$\begin{align*} \tau \sigma =& (i , j) \sigma \\ =& (i , j) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j , j_{1} , \cdots , j_{r}) \\ =& (i , j) \left( i , j_{r} \right) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j , j_{1} , \cdots , j_{r-1}) \\ =& (i , j) \left( i , j_{r} \right) \left( i , j_{r-1} \right) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j , j_{1} , \cdots , j_{r-2}) \\ =& (i , j) \left( i , j_{r} \right) \cdots \left( i , j_{1} \right) \left( i , j \right) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \\ =& (i , j) (i , j , j_{1} , \cdots , j_{r}) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \\ =& (i , j) (j , j_{1} , \cdots , j_{r} , i) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \\ =& (i , j) (j , i) ( j , j_{1} , \cdots , j_{r} ) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \\ =& ( j , j_{1} , \cdots , j_{r} ) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \end{align*}$$ 이다. 따라서 $\tau \sigma$ 는 $i$ 와 $j$ 가 다른 궤도의 원소에 속하게 되고, $\sigma$ 와 $\tau \sigma$ 의 궤도의 수는 $1$ 만큼 차이가 난다.

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이로써 $\sigma$ 와 $\tau \sigma = (i , j ) \sigma$ 의 궤도의 수의 차는 $i$ 와 $j$ 가 무엇이든 관계 없이 $1$ 임을 확인했다. 즉 어떤 순열이 됐든 전위가 한번 곱해질때마다 궤도의 수가 $1$ 씩 늘어난다는 것이다.

한편 항등함수, 즉 $\iota = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{bmatrix}$ 의 궤도의 갯수는 $n$ 이다.

보조정리: 원소가 둘 이상인 유한대칭군의 모든 순열은 전위들의 곱으로 나타낼 수 있다.

임의의 순열 $\sigma$ 를 전위 $\tau_{k}$ 들에 대해 나타내보면 $\sigma = \tau_{1} \tau_{2} \cdots \tau_{N} \iota$ 이고, 궤도의 갯수는 $(N + n)$ 다. 자연수 $(N+n)$ 은 짝수인 동시에 홀수일 수 없으므로 순열 $\sigma$ 역시 짝이면서 홀일 수 없다.

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리뉴얼

• 23년 9월 4일, 류대식, Case 2 전개 수정 및 보강