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각운동량 연산자의 행렬 표현 📂양자역학

각운동량 연산자의 행렬 표현

공식

각운동량 연산자의 행렬 표현은 다음과 같다. ℓ=1\ell = 1일 때 m=1,0,−1m = 1, 0, -1이고,

Lz=m=1m=0m=−1ℏ[10000000−1]m=1m=0m=−1 \underset{\normalsize L_{z} = }{\scriptsize} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \hbar\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array}

Lx=m=1m=0m=−1ℏ2[010101010]m=1m=0m=−1 \underset{\normalsize L_{x} = }{\scriptsize} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}}\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array}

Ly=m=1m=0m=−1ℏ2[0−i0i0−i0i0]m=1m=0m=−1 \underset{\normalsize L_{y} = }{\scriptsize} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}}\left[ \begin{array}{c} 0 \\ -\i \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} \i \\ 0 \\ -\i \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ \i \\ 0 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array}

각운동량의 사다리 연산자의 행렬 표현은 다음과 같다. ℓ=1\ell = 1일 때 m=1,0,−1m = 1, 0, -1이고,

L+=m=1m=0m=−1[000200020]m=1m=0m=−1 \underset{\normalsize L_{+} = }{\scriptsize} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} \sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array}

L−=m=1m=0m=−1[020002000]m=1m=0m=−1 \underset{\normalsize L_{-} = }{} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \sqrt{2} \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array}

증명

사다리 연산자

L+∣ℓ,m⟩=(ℓ−m)(ℓ+m+1)ℏ∣ℓ,m+1⟩L−∣ℓ,m⟩=(ℓ+m)(ℓ−m+1)ℏ∣ℓ,m−1⟩ \begin{align*} L_{+}\ket{\ell, m} &= \sqrt{(\ell-m)(\ell + m + 1)}\hbar\ket{\ell, m+1} \\ L_{-}\ket{\ell, m} &= \sqrt{(\ell+m)(\ell - m + 1)}\hbar\ket{\ell, m-1} \end{align*}

두 사다리 연산자는 위의 식을 만족하므로, L+L_{+}에 대해서 아래의 식을 얻는다.

⟨ℓ,m′∣L+∣ℓ,m⟩=(ℓ−m)(ℓ+m+1)ℏ⟨ℓ,m′∣ℓ,m+1⟩=(ℓ−m)(ℓ+m+1)ℏδm′,m+1 \begin{align*} \braket{\ell,m^{\prime} | L_{+}|\ell,m} &= \sqrt{(\ell - m)(\ell + m + 1)}\hbar\braket{\ell,m^{\prime} | \ell,m+1} \\ &= \sqrt{(\ell - m)(\ell + m + 1)}\hbar \delta_{m^{\prime}, m+1} \end{align*}

이때 δ\delta는 크로네커 델타이다. 같은 방식으로 L−L_{-}에 대해서는 아래의 식을 얻는다.

⟨ℓ,m′∣L−∣ℓ,m⟩=(ℓ+m)(ℓ−m+1)ℏ⟨ℓ,m′∣ℓ,m−1⟩=(ℓ+m)(ℓ−m+1)ℏδm′,m−1 \begin{align*} \braket{\ell,m^{\prime} | L_{-}|\ell,m} &= \sqrt{(\ell + m)(\ell - m + 1)}\hbar\braket{\ell,m^{\prime} | \ell,m-1} \\ &= \sqrt{(\ell + m)(\ell - m + 1)}\hbar \delta_{m^{\prime}, m-1} \end{align*}

ℓ=1\ell = 1일 때 가능한 mm은 1,0,−11, 0, -1이므로 L±L_{\pm}가 편의상 L±L_{\pm}의 행과 열의 순서가 1,0,−11, 0, -1이라고 하자. 그러면 고유 함수의 좌표 벡터는 다음과 같다.

∣1,1⟩=[100],∣1,0⟩=[010],∣1,−1⟩=[001] \ket{1, 1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \ket{1, 0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \ket{1, -1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

그러면 수식 L+∣ℓ,m⟩=(ℓ−m)(ℓ+m+1)ℏ∣ℓ,m+1⟩L_{+} \ket{\ell, m} = \sqrt{(\ell-m)(\ell + m + 1)}\hbar\ket{\ell, m+1}으로 고유함수의 상태가 올라가는 것이 다음과 같이 직관적으로 표현된다. ℓ=1\ell = 1이라 하면,

L+[001]=2ℏ[010]L+[010]=2ℏ[100] L_{+} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \sqrt{2}\hbar \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] L_{+} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \sqrt{2}\hbar \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

행렬 L+L_{+}는 다음과 같다.

L+=[⟨1,1∣L+∣1,1⟩⟨1,1∣L+∣1,0⟩⟨1,1∣L+∣1,−1⟩⟨1,0∣L+∣1,1⟩⟨1,0∣L+∣1,0⟩⟨1,0∣L+∣1,−1⟩⟨1,−1∣L+∣1,1⟩⟨1,−1∣L+∣1,0⟩⟨1,−1∣L+∣1,−1⟩]=[0ℏδ1,22ℏδ1,12ℏδ1,00ℏδ0,22ℏδ0,12ℏδ0,00ℏδ1,22ℏδ−1,12ℏδ−1,0]=ℏ[020002000] \begin{align*} L_{+} &= \begin{bmatrix} \braket{1, 1 | L_{+}| 1, 1} & \braket{1, 1 | L_{+}| 1, 0} & \braket{1, 1 | L_{+}| 1,-1} \\ \braket{1, 0 | L_{+}| 1, 1} & \braket{1, 0 | L_{+}| 1, 0} & \braket{1, 0 | L_{+}| 1,-1} \\ \braket{1,-1 | L_{+}| 1, 1} & \braket{1,-1 | L_{+}| 1, 0} & \braket{1,-1 | L_{+}| 1,-1} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0\hbar \delta_{1, 2} & \sqrt{2}\hbar \delta_{1 , 1} & \sqrt{2}\hbar \delta_{ 1, 0} \\ 0\hbar \delta_{0, 2} & \sqrt{2}\hbar \delta_{0 , 1} & \sqrt{2}\hbar \delta_{ 0, 0} \\ 0\hbar \delta_{1, 2} & \sqrt{2}\hbar \delta_{-1, 1} & \sqrt{2}\hbar \delta_{-1, 0} \end{bmatrix} \\ &= \hbar \begin{bmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align*}

마찬가지로 L−L_{-}에 대해서는 다음과 같다.

L−[100]=2ℏ[010]L−[010]=2ℏ[001] L_{-} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \sqrt{2}\hbar \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] L_{-} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \sqrt{2}\hbar \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

L−=ℏ[000200020] L_{-} = \hbar \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{bmatrix}

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각운동량 연산자

LzL_{z}와 L2L^2의 동시 고유함수는 ∣ℓ,m⟩\ket{\ell, m}이고 고유값 방정식은

Lz∣ℓ,m⟩=mℏ∣ℓ,m⟩L2∣ℓ,m⟩=ℓ(ℓ+1)ℏ2∣ℓ,m⟩ \begin{align*} L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar \ket{\ell, m} \\ L^2\ket{\ell, m} &= \ell(\ell+1)\hbar^2 \ket{\ell, m} \end{align*}

이므로

⟨ℓ,m′∣Lz∣ℓ,m⟩=mℏ⟨ℓ,m′∣ℓ,m⟩=mℏδmm′ \braket{\ell,m^{\prime} | L_{z}|\ell,m}=m\hbar \braket{\ell,m^{\prime} | \ell,m}=m\hbar \delta_{mm^{\prime}}

따라서 [(Lz)mn]=mℏδmn[(L_{z})_{mn}] = m \hbar \delta_{mn}이다. 이때 δ\delta는 크로네커 델타이다. ℓ=1\ell = 1일 때 가능한 mm은 1,0,−11, 0, -1이므로 LzL_{z}가 편의상 11행, 00행, −1-1행을 가진다고 하자. 각 고유 함수의 좌표 벡터를 다음과 같다고 하자.

∣1,1⟩=[100],∣1,0⟩=[010],∣1,−1⟩=[001] \ket{1, 1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \ket{1, 0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \ket{1, -1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

그러면 [(Lz)mn]=mℏδmn[(L_{z})_{mn}] = m \hbar \delta_{mn}이므로,

Lz=[(Lz)11(Lz)10(Lz)1−1(Lz)01(Lz)00(Lz)0−1(Lz)−11(Lz)−10(Lz)−1−1]=[1ℏδ1,11ℏδ1,01ℏδ1,−10ℏδ0,10ℏδ0,00ℏδ0,−1−1ℏδ−1,1−1ℏδ−1,0−1ℏδ−1,−1]=ℏ[10000000−1] \begin{align*} L_{z} &= \begin{bmatrix} (L_{z})_{11} & (L_{z})_{10} & (L_{z})_{1-1} \\ (L_{z})_{01} & (L_{z})_{00} & (L_{z})_{0-1} \\ (L_{z})_{-11} & (L_{z})_{-10} & (L_{z})_{-1-1} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1\hbar\delta_{1,1} & 1\hbar\delta_{1,0} & 1\hbar\delta_{1,-1} \\ 0\hbar\delta_{0,1} & 0\hbar\delta_{0,0} & 0\hbar\delta_{0,-1} \\ -1\hbar\delta_{-1,1} & -1\hbar\delta_{-1,0} & -1\hbar\delta_{-1,-1} \end{bmatrix} \\ &= \hbar \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \end{align*}

또한 Lx=12(L++L−)L_{x} = \dfrac{1}{2} (L_{+} + L_{-})이고, Ly=−i2(L+−L−)L_{y} = -\dfrac{\i}{2}(L_{+} - L_{-})이므로 LxL_{x}와 LyL_{y}는 다음과 같다.

Lx=12(L++L−)=12(ℏ[020002000]+ℏ[000200020])=ℏ2[010101010] \begin{align*} L_{x} &= \dfrac{1}{2} (L_{+} + L_{-}) \\ &= \dfrac{1}{2}\left( \hbar\begin{bmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \hbar\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{bmatrix} \right) \\ &= \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \end{align*}

Ly=−i2(L+−L−)=−i2(ℏ[020002000]−ℏ[000200020])=ℏ2[0−i0i0−i0i0] \begin{align*} L_{y} &= -\dfrac{\i}{2} (L_{+} - L_{-}) \\ &= -\dfrac{\i}{2}\left( \hbar\begin{bmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} - \hbar\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{bmatrix} \right) \\ &= \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & -\i & 0 \\ \i & 0 & -\i \\ 0 & \i & 0 \end{bmatrix} \\ \end{align*}