전사 연속함수는 연결성을 보존한다
📂위상수학전사 연속함수는 연결성을 보존한다
정리
연결 공간 X 에 대해 f:X→Y 가 전사 연속함수면 Y 는 연결 공간이다.
설명
연결과 연속처럼 비슷한 말이 섞여있어서 조금 헷갈릴 수도 있다. 대개는 영어로 외우면 해결되지만 이 정리에 쓰이는 영단어는 Connected 와 Continuous기 때문에 큰 도움은 되지 않는다.
증명
Y 가 연결 공간이 아니라고 가정하면
A∩B=∅A∪B=Y
를 만족하는 열린 진부분집합 A,B⊂Y 가 존재할 것이다. f 는 전사 함수이므로 f−1(A) 와 f−1(B) 는 공집합이 아니다.
f 가 연속함수면 모든 열린 집합 V⊂Y 에 대해, f−1(V) 가 X 에서 열린 집합이다.
f 는 연속함수이므로 f−1(A) 와 f−1(B) 는 X 에서 열린 집합이다. 그러나 교집합을 취해보면
f−1(A)∩f−1(B)=f−1(A∩B)=f−1(∅)=∅
인데 합집합을 취해보면
f−1(A)∪f−1(B)=f−1(A∪B)=f−1(Y)=X
이다. 따라서 X 는 비연결 공간이고 이는 모순이다.
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증명을 잘 살펴보면 알겠지만 연결성이 위상적 성질임을 보이는 방법과 정확하게 같다. 그냥 정리 전체보단 팩트로써의 성격이 강해진 아래의 따름정리가 더 써먹기 용이할 것이다.
따름정리
연결 공간 X 에 대해 f:X→Y 가 연속함수면 f(X) 는 연결 공간이다.
