📂위상수학

연결 공간의 여러가지 동치조건

정의 ¹

위상공간 $X$ 에 대해 부분집합 $A \subset X$ 가 $$A \ne \emptyset \\ A \ne X$$ 면 $A$ 를 $X$ 의 진부분집합^{proper Subset}이라 한다. 두 진부분집합 $A,B \subset X$ 에 대해 $$\overline{A} \cap B = \emptyset \\ A \cap \overline{B} = \emptyset$$ 이면 $A$ 와 $B$ 를 분리 집합^{separated set} 혹은 그냥 분리^separation라 부른다.

연결 공간의 동치조건

위의 정의를 포함해서 연결 공간의 여러가지 동치조건을 찾을 수 있다. 우선은 연결 공간에서 그랬던 것과 같이 비연결 공간부터 알아보자.

비연결 공간

다음 명제들은 서로 동치다.

• (1): $X$ 가 비연결 공간이다.
• (2): $X$ 가 어떤 분리 집합의 합집합이다.
• (3): 이산공간 $\left\{ a, b \right\}$ 에 대해 전사인 연속함수 $f : X \to \left\{ a, b \right\}$ 가 존재한다.
• (4): 열려있으면서 닫혀있는 진부분집합이 존재한다.
• (5): $\overline{A} \cap \overline{X \setminus A} = \emptyset$ 을 만족하는 진부분집합 $A$ 가 존재한다.

연결 공간

다음 명제들은 서로 동치다.

• (1)’: $X$ 가 연결 공간이다.
• (2)’: $X$ 는 어떤 분리 집합의 합집합이 될 수 없다.
• (3)’: 이산공간 $\left\{ a, b \right\}$ 에 대해 전사인 연속함수 $f : X \to \left\{ a, b \right\}$ 가 존재하지 않는다.
• (4)’: 열려있으면서 닫혀있는 진부분집합이 존재하지 않는다.
• (5)’: $\overline{A} \cap \overline{X \setminus A} = \emptyset$ 을 만족하는 진부분집합 $A$ 가 존재하지 않는다.

보다시피 죄다 비연결 공간의 부정으로써 나타낼 수 있다.