📂추상대수

추상대수학에서의 궤도, 순환, 전위

정의 ¹

$\sigma$ 를 군 $G$ 에 대한 순열이라고 하면 $a, b \in G$ 에 대한 동치관계 $\sim$ 는 $b=\sigma^n (a)$ 를 만족하는 정수 $n \in \mathbb{Z}$ 이 존재할 때 $a \sim b$ 로 정의된다.

1. $\sim$ 의 동치류들을 $\sigma$ 의 궤도^orbit라 한다.
2. 원소가 둘 이상인 궤도를 많아도 하나만 가지는 순열을 순환^cycle이라고 한다.
3. 순환이 가지는 궤도들 중 가장 기수가 큰 궤도의 기수를 순환의 길이^length라 한다.
4. 길이가 $2$ 인 순환을 전위^{transposition}라 한다.
5. 순환에 대응하는 궤도들이 원소를 공유하지 않으면 서로소^disjoint라 한다.

설명

정의만 봐서는 이해가 안 되는 게 정상이니 실제 예시들을 살펴보도록 하자.

궤도

$S_{8}$ 에서 순열 $$\sigma = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 8 & 6 & 7 & 4 & 1 & 5 & 2 \end{bmatrix}$$ 을 생각해보자. 위 표현은 $$1 \to 3 \to 6 \to 1 \\ 2 \to 8 \to 2 \\ 4 \to 7 \to 5 \to 4$$ 를 나타낸다. 따라서 동치관계 $\sim$ 은 다음의 세가지 동치류를 결정한다. $$\left\{ 1, 3, 6 \right\} \\ \left\{ 2, 8 \right\} \\ \left\{ 4 , 5 , 7 \right\}$$

순환

$S_{5}$ 에서 순열 $$\mu_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 5 & 1 & 4 \end{bmatrix}$$ 을 생각해보자. 위 순열은 $1 \to 3 \to 5 \to 4 \to 1$ 으로, 변하지 않는 $2$ 를 제외하고서 $(1,3,5,4)$ 로만 나타내도 좋다. 주의해야할 것은 이러한 표현을 쓸 땐 순서가 중요해서 $(1,3,5,4) = (3,5,4,1)$ 이지만 $(1,3,5,4) \ne (1,5,3,4)$ 라는 것이다. 또한 $$\mu_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$$ 을 생각해보면 $(1,2)$ 는 $3$ 이 있는 것조차 표현이 되지 않으므로 $S_{3}$ 에서 $(1,2)$ 임을 확실히 밝혀줘야한다.

길이

순환 $$\mu_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 5 & 1 & 4 \end{bmatrix}$$ 의 궤도는 $$\left\{ 1,3,4,5 \right\} \\ \left\{ 2 \right\}$$ 둘 뿐이다. 이때 $| \left\{ 1,3,4,5 \right\} | = 4$ 와 $| \left\{ 2 \right\} | =1$ 이므로 $\mu_{1}$ 의 길이는 $4$ 가 된다.

전위

순환 $$\mu_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} = (1,2)$$ 는 길이가 $2$ 이므로 전위다. 쉽게 말해서 두 원소만을 교환해주는 순환이다. 일반적으로, $$(1,2, \cdots , n) = (1, n) (1, n-1 ) \cdots (1,3) (1,2)$$ 으로 나타낼 수 있다. 만약 $3$ 을 기준으로 놓고싶다면 $$(1,2, \cdots , n) = (3, 4, \cdots , n , 1, 2 ) = (3 , 2) (3, 1) \cdots (3,4)$$ 으로 바꾸면 된다. 상당히 유용한 성질이므로 반드시 알아두도록 하자.

서로소

$$\sigma = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 8 & 6 & 7 & 4 & 1 & 5 & 2 \end{bmatrix} = (1,3,6) (2,8) (4,7,5)$$ 를 생각해보자. 세 순환 $(1,3,6)$ 과 $(2,8)$ 그리고 $(4,7,5)$ 는 대응되는 궤도들이 원소를 공유하지 않으므로 서로소다. 이 표현에서 알 수 있는 것은 $$(1,3,6) (2,8) (4,7,5) = (4,7,5) (2,8) (1,3,6)$$ 로 나타내도 전혀 상관 없다는 것이다. 순열은 순환들의 곱으로 표현해도 상관 없으며, 이러한 곱을 같은 것으로 본다면 궤도는 유일하게 결정된다.

정리

• [1]: 원소가 둘 이상인 유한대칭군의 모든 순열은 전위들의 곱으로 나타낼 수 있다.
• [2]: 유한대칭군의 모든 순열은 서로소인 순환들의 곱으로 나타낼 수 있다.