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케일리의 정리 증명 📂추상대수

케일리의 정리 증명

정리 1

모든 군은 대칭군의 어떤 부분군과 동형이다.

설명

짧고도 굵직한 이 정리는 대칭군을 연구하면 모든 군을 파악할 수 있다는 메세지를 담고 있다.

증명

증명은 언뜻 지루해 보이지만 읽어보면 그 테크닉이 상당히 흥미로우니 한번정도는 직접 따라해보는 것을 추천한다.

Part 1. f:G→G′f : G \to G' 가 단사면 G≃f(G)G \simeq f (G)

군 GG 와 G′G' 에 대해 준동형사상 f:G→G′f : G \to G' 가 단사면 G≃f(G)G \simeq f (G) 임을 보이자.

군의 정의: 군은 아래의 성질들을 만족하는 이항연산구조다.

  • (i): 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
  • (ii): 모든 원소에 대해 항등원이 존재한다.
  • (iii): 모든 원소에 대해 역원이 존재한다.

ff 는 ff 에 대한 GG 의 이미지 f(G)⊂G′f(G) \subset G' 를 공역으로 갖는 함수 f:G→f(G)f : G \to f(G) 로 보았을 때 당연히 전사다. ff 가 단사라고 가정한다면, 이제 f(G)f(G) 가 군이라는 것을 보이는 것으로 G≃f(G)G \simeq f(G) 를 얻을 수 있다.

x,y∈Gx,y \in G 와 x′,y′∈G′x', y ' \in G' 에 대해 f(x)=x′f(x) = x ', f(y)=y′f(y) = y ' 라고 하면 f(xy)=f(x)f(y)=x′y’ f(xy) = f(x) f(y) = x ' y’ 이므로 f(G)f(G) 는 G′G' 의 연산에 대해 닫혀있다. 또한 f(G)⊂G′f(G) \subset G' 인데 G′G' 이 군이므로 결합법칙을 만족한다.

ee 를 GG 의 항등원, e′e' 를 G′G' 의 항등원이라고 하면 e′f(e)=f(e)=f(ee)=f(e)f(e) e' f(e) = f(e) = f(ee) = f(e) f(e) 이므로 f(G)f(G) 는 항등원 e′e' 를 갖는다.

마지막으로 e′=f(e)=f(xx−1)=f(x)f(x−1)=x′f(x−1) e' = f(e) = f(x x^{-1}) = f(x) f(x^{-1}) = x ' f(x^{-1}) 즉 모든 x′∈f(G)x' \in f(G) 는 역원 f(x−1)f(x^{-1}) 를 가지므로 f(G)f(G) 는 군이다.

Part 2. ∃ϕ:G↪SG\exists \phi : G \hookrightarrow S_{G}

이제 모노멀피즘(준동형사상이면서 단사인 함수) ϕ:G→SG\phi : G \to S_{G} 가 존재하기만을 보이면 증명은 끝난다.

x∈Gx \in G 에 대해 λx:G→G\lambda_{x} : G \to G 를 λx(g):=xg\lambda_{x} (g) := xg 로 정의하면 λx(a)=λx(b)  ⟹  xa=xb  ⟹  a=b \lambda_{x} (a) = \lambda_{x} (b) \implies xa = xb \implies a = b 이므로 λx\lambda_{x} 는 단사다. 또한 모든 c∈Gc \in G 에 대해 λx(x−1c)=xx−1c=c \lambda_{x} (x^{-1} c ) = x x^{-1} c = c 이므로 λx\lambda_{x} 는 전사고, 따라서 λx:G→G\lambda_{x} : G \to G 는 GG 의 순열이다.

그럼 이제 x∈Gx \in G 에 대해 ϕ:G→SG\phi : G \to S_{G} 를 ϕ(x)=λx\phi (x) = \lambda_{x} 라고 정의해도 될 것이다. ϕ(x)=ϕ(y)\phi (x) = \phi (y) 라고 하면 λx=λy\lambda_{x} = \lambda_{y} 이고 λx(e)=λy(e)\lambda_{x} (e) = \lambda_{y} (e) 이므로 xe=ye  ⟹  x=y x e = y e \implies x = y 즉, ϕ\phi 는 단사다. 한편 ϕ(xy)=λxy\phi (xy) = \lambda_{xy} 이므로 λxy(g)=(xy)g\lambda_{xy}(g) = (x y) g 인데 λx,λy\lambda_{x} , \lambda_{y} 는 순열이기 때문에 (λxλy)(g)=λx(λy(g))=λx(yg)=x(yg) ( \lambda_{x} \lambda_{y} ) (g) = \lambda_{x} (\lambda_{y} (g)) = \lambda_{x} (yg) = x (yg) 이다. 정리하면 ϕ(xy)=λxy=λxλy=ϕ(x)ϕ(y)\phi (xy) = \lambda_{xy} = \lambda_{x} \lambda_{y} = \phi (x) \phi (y) 즉, ϕ\phi 는 준동형사상이다.

따라서 GG 는 SGS_{G} 의 어떤 부분군에 대해 동형이다.

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  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p82. ↩︎