위상수학에서 계승적 성질이란?
빌드업: 부분공간
위상공간 $(X, \mathscr{T})$ 에 대해 $Y \subset X$ 라고 하자.
$\mathscr{T}’ := \left\{ U \cap Y \ | \ U \in \mathscr{T} \right\}$ 라고 하면 $(Y , \mathscr{T}’ )$ 는 $X$ 의 부분공간subspace이 되고 $\mathscr{T} ' $ 를 $\mathscr{T}$ 에 의한 $Y$ 의 부분위상subspace Topology이라 한다.
- [1]: $A \subset Y$ 가 $Y$ 에서 닫힌 부분집합인 필요충분조건은 $A = C \cap Y$ 를 만족하는 닫힌 부분집합 $C \subset X$ 가 존재하는 것이다.
- [2]: $y \in Y$ 에 대해 $N \subset Y$ 가 $y$ 의 근방인 필요충분조건은 $N = Y \cap n '$ 를 만족하는 $y$ 의 근방 $N ' \subset X$ 가 존재하는 것이다.
주의해야할 것은 새롭게 만들어지는 부분위상은 원래 주어진 공간의 성질을 가지고 있다는 보장이 전혀 없다는 것이다. 따라서 다음과 같은 개념을 생각할 수밖에 없다.
정의
$X$ 위상적 성질 $P$ 에 대해 $X$ 의 모든 부분공간이 $P$ 를 가질 때, $P$ 를 계승적 성질hereditary라 한다.
계승적 성질의 예시로는 다음과 같은 것들이 있다.
예시
- (1): 제1가산성
- (2): 제2가산성
- (3): 거리화가능성
- (4): 하우스도르프
일반화를 추구하는 성질 자체가 수학자들의 본성이라고 해도 상관은 없지만, ‘필요한가?‘라는 질문의 대답이 되진 않는다. 그런데 만약 전체에서 보인 정리가 부분에서도 통한다면 당연히 부분보다 전체를 연구하는 것이 효율적이고, 필요해진다. 전체의 성질이 부분에서도 유지되는가 하는 문제는 수학을 연구해야하는 가장 중요한 이유라고 해도 과언이 아니다.
한편 계승적 성질이 아닌 경우는 반례를 생각해봄직하다. 위상적 성질이지만 계승적 성질이 아닌 아닌 경우는 아래와 같다.
반증
(-1)
위상적 성질이지만 계승적 성질이 아닌 반례를 보이자.
$\mathbb{R}^{2}$ 의 부분집합 $$ X = \left\{ (0,1) \right\} \cup \left\{ (x,0) \ | \ x \in \mathbb{R} \right\} \\ \mathscr{T} = \left\{ \emptyset \right\} \cup \left\{ U \ | \ (0,1) \in U \subset X \right\} $$ 을 생각해보면 $\left( X , \mathscr{T} \right)$ 은 위상공간이 되고, 부분집합 $$ Y = \left\{ (0,1) \ | \ x \in \mathbb{R} \right\} \subset X $$ 은 부분공간 $\left( Y , \mathscr{T} ' \right)$ 을 이룰 수 있다. $\mathscr{T}$ 의 정의에 따라 모든 $U \subset \mathscr{T}$ 에 대해 $$ \left\{ (0,1) \right\} \cap U \ne \emptyset $$ 이므로 $\left\{ (0,1) \right\}$ 는 $X$ 에서 조밀하다. 거기에 홑원소 집합 $\left\{ (0,1) \right\}$ 는 가산이므로, $X$ 는 가분공간이다. 한편 $$ Y = \left\{ (x, 0) \ | \ x \in \mathbb{R} \right\} \subset X $$ 는 부분공간 $\left( Y, \mathscr{T} ' \right)$ 을 이룬다. 하지만 $$ \mathscr{T} ' = \left\{ U \cap Y \ | \ U \in \mathscr{T} \right\} = \mathscr{P} (\mathbb{R}) = \mathscr{P} (Y) $$ 이다. 다시 말해, $Y$ 는 이산공간이 된다.
조밀성의 판별법: $A$ 가 $X$ 에서 조밀하다는 것과 $X$ 의 모든 열린 부분집합 $U$ 에 대해 $U \cap A \ne \emptyset$ 은 동치다.
이산공간은 모든 $U \in \mathscr{T} ' = \mathscr{P} (Y)$ 에 대해 $$ U \cap ( Y \setminus U ) = \emptyset $$ 이므로, $Y$ 의 어떤 가산 부분집합 $U \subset \mathscr{P} (Y)$ 를 가져오더라도 $U \cap U^{c} = \emptyset$ 을 만족하는 열린 집합 $U^{c} \in \mathscr{T} ' $ 이 존재해서 $U$ 는 조밀성을 가지지 못한다. 따라서 $Y$ 는 가분공간이 될 수 없다.
■
(-2)
위상적 성질이지만 계승적 성질이 아닌 반례를 보이자.유클리드 공간 $\mathbb{R}$ 의 부분집합 $X : = (-1,0) \cup (0,1)$ 을 생각해보면 $\mathbb{R}$ 의 부분공간 $X$ 는 비연결 공간이다.
■