📂복소해석

등각사상으로써의 삼각함수

정리 ¹

등각사상 $w = f(z) = \sin z$은 수직선 $y=k$ 를 타원으로, 수평선 $x = k$ 를 쌍곡선으로 대응시킨다.

증명

$$z = x + iy \\ w = u + i v$$ 라고 하면 $$u = \sin x \cosh y \\ v = \cos x \sinh y$$ 이다. $y = k$ 라고 하면 $${{ u^2 } \over { \cosh^{2} k}} = \sin^{2} x \\ \displaystyle {{ v^2 } \over { \sinh^{2} k}} = \cos^{2} x$$ 양변끼리 더하면 $${{ u^2 } \over { \cosh^{2} k}} + {{ v^2 } \over { \sinh^{2} k}} = 1$$ 즉 타원의 방정식이 된다. $x = k$ 라고 하면 $${{ u^2 } \over { \sin^{2} k}} = \cosh^{2} y \\ \displaystyle {{ v^2 } \over { \cos^{2} k}} = \sinh^{2} y$$ 양변끼리 빼면 $${{ u^2 } \over { \sin^{2} k}} - {{ v^2 } \over { \cos^{2} k}} = 1$$ 즉 쌍곡선의 방정식이 된다.

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