동역학에서 프랙털이란?
용어
프랙털fractal은 흔히 자기유사성self-similarity을 가지는 기하적 객체를 일컫고 그 예시와 개념 또한 널리 알려져 있으나, 보편적으로 받아들여지는 정의는 없다1.
쉬운 합의
임의의 작은 스케일에서도 세밀한 구조를 가지는, 복잡한 기하적 형태를 프랙털이라 한다. 대개의 프랙털은 어느 정도의 자기 유사성을 가진다2.
어려운 합의
넓은 범위의 다른 스케일에서 복잡한 구조가 반복되거나, 프랙털 차원fractal dimension이 정수가 아닌 구조를 프랙털이라 한다3. 프랙털 차원로는 다음과 같은 것들이 있다:
설명
프랙털 자체에만 관심을 가질 프랙털 기하학fractal geometry에서는 어떤지 모르겠지만, 동역학계와 연관되는 요소로써의 프랙털은 동역학의 꽤 많은 개념들이 그러하듯 속 시원하게 정의되기가 어렵다.
적어도 동역학에서 프랙털은 카오스라는 개념과 관련이 깊다. 대강 말해서, 혼돈이란 시스템의 오빗이 수렴하거나 발산하지 않고 바운디드 되어 있으면서도 주기를 가지지 않고, 초기조건에 민감해서 예측할 수 없는 것을 말한다. 그런데 그 페이즈 플레인을 보면 프랙털의 구조를 가지고 있고, 이는 혼돈이라는 것의 본질을 생각해봤을 때 꽤나 일리가 있다.
- 캐어릭한 오빗은 이미 한 번 지나간 점으로는 영원히 돌아오지 않는데 이것이 유계인 공간에서 일어나려면 아무리 작은 스케일로 공간을 쪼개도 계속해서 오빗이 지나갈 길이 있어야 한다.
- 프랙털의 경계는 시각적으로 상상하기가 어렵다. 경계의 부근에서 한 점을 찍었을 때 그것이 프랙털에 안에 속할지 밖에 있을지도 알 수 없고 그 점을 살짝 움직였을 때 여전히 같은 베이신에 있을지도 알 수 없다. 그 점을 찍는다는 것을 초기조건을 정한다는 것과 같은 선상에서 놓고 보면 이들이 서로 관련성을 갖고 있음을 조금은 납득할 수 있을 것이다.