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위상적 성질 📂위상수학

위상적 성질

정의 1

위상동형인 두 공간 X,YX,Y 에 대해 XX 의 성질 PP 를 YY 도 갖고 있으면 PP 를 위상적 성질topological Property이라 한다. 위상적 성질의 예시로는 아래와 같은 것들이 있다.

설명

대수학에서 동형사상이 중요하듯, 위상수학에선 위상동형사상이 중요한 이유가 바로 이것이다. 위상동형사상이 존재함을 보이면 언뜻 달라보이는 공간이라도 여러가지 성질을 공유함을 알 수 있는 것이다. 물론 연구하기 어려운 공간을 연구하기 쉬운 공간으로 가져와서 생각할 수도 있다.

증명

가분성

위상동형사상 f:X→Yf : X \to Y 가 존재하고 XX 가 가분공간이라고 하자. YY 가 가분공간임을 보이면 증명은 끝난다.

가정에서 XX 는 가분공간이므로, A‾=X\overline{A} = X 를 만족하는 가산부분집합 A⊂XA \subset X 가 존재한다. 자명하게도 f(A)f(A) 는 YY 의 가산부분집합이고, f(A)‾=Y\overline{f(A)} = Y 를 보이면 된다.

ff 가 연속함수면 모든 A⊂XA \subset X 에 대해, f(A‾)⊂f(A)‾f( \overline{A} ) \subset \overline{ f(A) }

ff 는 전사이므로 f(X)=Yf(X) = Y 고 연속함수이므로 f(A‾)⊂f(A)‾f(\overline{A}) \subset \overline{ f(A) }, 즉 Y=f(X)=f(A‾)⊂f(A)‾ Y = f(X) = f(\overline{A}) \subset \overline{ f(A) } 이고 정리하면 Y⊂f(A)‾Y \subset \overline{ f(A) } 이다. 한편 YY 는 ff 의 공역이므로 f(A)‾⊂Y\overline{ f(A) } \subset Y 이고, f(A)‾=Y\overline{f(A)} = Y 이다.

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제1가산성

위상동형사상 f:X→Yf : X \to Y 가 존재하고 XX 가 제1가산공간이라고 하자. YY 가 제1가산공간임을 보이면 증명은 끝난다.

ff 가 연속함수면 모든 열린 집합 V⊂YV \subset Y 에 대해, f−1(V)f^{-1} (V) 가 XX 에서 열린 집합이다.

ff 는 연속함수이므로, YY 의 모든 열린 부분집합 f(x)∈Vf(x) \in V 에 대해 x∈f−1(V)x \in f^{-1} (V) 는 XX 에서 열린 집합이다. 모든 x∈Xx \in X 에 대해 국소기저 Bx\mathscr{B}_{x} 가 존재하므로, x∈B⊂f−1(V) x \in B \subset f^{-1}(V) 를 만족하는 BB 가 항상 존재한다. 따라서 f(x)∈f(B)⊂Vf(x) \in f(B) \subset V 인데 ff 는 열린 함수이므로 모든 B⊂BxB \subset \mathscr{B}_{x} 에 대해 f(B)f(B) 는 YY 에서 열린 집합이다. 즉 Bf(x):={f(B) ∣ B∈Bx} \mathscr{B}_{f(x)} := \left\{ f(B) \ | \ B \in \mathscr{B}_{x} \right\} 는 f(x)∈Yf(x) \in Y 에 대해 국소기저고, Bx\mathscr{B}_{x} 는 가산 집합이므로 Bf(x)\mathscr{B}_{f(x)} 역시 가산집합이다. ff 는 전단사이므로 모든 y=f(x)y = f(x) 에 대해 By\mathscr{B}_{y} 가 존재하고, YY 는 제1가산공간이다.

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제2가산성

위상동형사상 f:X→Yf : X \to Y 가 존재하고 XX 가 제2가산공간이라고 하자. YY 가 제2가산공간임을 보이면 증명은 끝난다.

가정에 따라 XX 의 가산기저 B:={Bn ∣ n∈N}\mathscr{B} := \left\{ B_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\} 가 존재한다.

ff 가 연속함수면 모든 열린 집합 V⊂YV \subset Y 에 대해, f−1(V)f^{-1} (V) 가 XX 에서 열린 집합이다.

ff 는 연속함수이므로 모든 열린 집합 V⊂yV \subset y 에 대해 f−1(V)f^{-1}(V) 는 XX 에서 열린 집합이다. B\mathscr{B} 는 XX 의 기저이므로 f−1(V)=⋃i∈IBi\displaystyle f^{-1}(V) = \bigcup_{i \in I} B_{i} 이고, V=f(⋃i∈IBi)=⋃i∈If(Bi) V = f \left( \bigcup_{i \in I} B_{i} \right) = \bigcup_{i \in I} f( B_{i} ) 즉 모든 VV 에 대해 가산기저 B’:={f(Bn)∣ n∈N}\mathscr{B}’ := \left\{ f(B_{n}) |\ n \in \mathbb{N} \right\} 가 존재하고, YY 는 제2가산공간이다.

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거리화가능성

위상동형사상 f:X→Yf : X \to Y 가 존재하고 XX 가 거리화가능 공간이라고 하자. YY 가 거리화가능 공간임을 보이면 증명은 끝난다.

거리의 조건:

  • (i): d(x,y)=0  ⟺  x=yd(x,y)=0 \iff x = y
  • (ii): d(x,y)=d(y,x)d(x,y) = d(y,x)
  • (iii): d(x,y)+d(y,z)≥d(x,z)d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)

가정에서 (X,d)\left( X , d \right) 가 거리공간이 되는 거리 d:X×X→[0,∞)d : X \times X \to [ 0 ,\infty ) 가 존재한다. 여기서 d’:Y×Y→[0,∞)d’ : Y \times Y \to [ 0 ,\infty ) 를 d’(y1,y2):=d(f−1(y1),f−1(y2)) d’(y_{1} , y_{2}) : = d \left( f^{-1} (y_{1}) , f^{-1} (y_{2}) \right) 와 같이 정의하자. d′d ' 는 거리 dd 를 통해 정의되었으므로 d′d ' 역시 거리가 되는 조건들을 만족함을 쉽게 보일 수 있다.

ff 가 연속함수면 모든 열린 집합 V⊂YV \subset Y 에 대해, f−1(V)f^{-1} (V) 가 XX 에서 열린 집합이다.

ff 는 연속함수이므로 모든 열린 V⊂Y V \subset Y 에 대해 f−1(V)f^{-1} (V) 는 XX 에서 열린 집합이다.

따라서 f−1(V)=⋃x∈f−1(V)Bd(x,rx) f^{-1} (V) = \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} B_{d} (x, r_{x}) 이고 양변에 상을 취하면 V=f(⋃x∈f−1(V)Bd(x,rx))=⋃x∈f−1(V)f(Bd(x,rx))=⋃x∈f−1(V)Bd’(f(x),rx) \begin{align*} V =& f \left( \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} B_{d} (x, r_{x}) \right) \\ =& \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} f \left( B_{d} (x, r_{x}) \right) \\ =& \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} B_{d’} ( f(x) , r_{x}) \end{align*}

ff 는 위상동형사상이므로 Bd’(f(x),r)=Bd’(y,r)=f(Bd(f−1(y),r)) B_{d’} ( f(x) , r) = B_{d’} ( y , r) = f \left( B_{d} ( f^{-1} (y) , r) \right) 는 YY 에서 열린 볼이다. 따라서 모든 열린 볼들의 집합 B’:={Bd’(y,r) ∣ y∈Y∧r>0}\mathscr{B}’ := \left\{ B_{d’} (y, r) \ | \ y \in Y \land r>0 \right\} 는 YY 의 기저가 되고, YY 는 거리화가능 공간이다.

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  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p105. ↩︎