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추상대수학에서의 대칭군

정의 ¹

집합 $A$ 에 대해 전단사 $\phi : A \to A$ 를 순열^permutation이라 한다. $S_{A}$ 는 $A$ 의 모든 순열을 모아놓은 집합으로써 함수의 합성 $\circ$ 에 대해 군 $\left< S_{A} , \circ \right>$ 를 이루고, 대칭군^{symmetric group}이라 부른다.

설명

대칭군이 정말 군의 조건을 만족하는지는 순열이 전단사로 정의되었다는 점에서 쉽게 확인할 수 있다. 주로 관심의 대상이 되는 것은 $A$ 가 유한집합인 경우 즉 $|A| = n$ 일 때로, 보통은 $S_{A} = S_{n}$ 으로 나타낸다.

삼각형의 대칭성

순열은 고등학교에서 배우는 것과 본질적으로 다르지 않은데, $A = \left\{ 1,2,3 \right\}$ 을 생각해보자. 원소의 갯수가 $3$ 개이므로 대칭군 $S_{3}$ 의 위수는 $3! = 6$ 이다. 별로 많지 않으므로 일일이 다 나열해보자. 표현은 행렬과 비슷한데, $1$ 행에 있는 원소를 $2$ 행에 있는 원소로 대응시킨다고 보면 된다. $$ \rho_{0} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \qquad \rho_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \qquad \rho_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} \\ \mu_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \qquad \mu_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \qquad \mu_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} $$

이를 그림으로 나타내보면 다음과 같다:

• $\rho_{k}$ 은 $|A| = n$ 에 대해 삼각형을 반시계방향으로 $\displaystyle {{2 k \pi} \over {n}}$ 만큼 회전시키는 것이다. 여기서 $\rho_{0}$ 은 도형에 아무 영향을 미치지 않는 회전으로써 대칭군에선 항등원이 된다. $\rho$ 를 쓰는 이유는 회전^rotation에서 $r$ 을 따왔기 때문이다.
• $\mu_{k}$ 은 $k$ 을 고정시키고 나머지 두 점을 서로 바꾸는 것이다. 혹은 $1$ 과 중심을 가로지르는 보조선에 대해 거울에 비추듯 반전시켰다고 표현해도 좋다. $\mu$ 를 쓰는 이유는 거울상^{mirror Image}에서 $m$ 을 따왔기 때문이다.

가환군이 아니다

$n \ge 3$ 에 대해 $S_{n}$ 은 가환군이 아니다.

대칭군의 흥미로운 성질 중 하나로, 가환군이 아니라는 것이 있다.

위의 표는 $S_{3}$ 의 모든 연산을 나타낸 것인데, 예를 들어 $\rho_{1} \circ \mu_{1} = \mu_{3}$ 인데 $\mu_{1} \circ \rho_{1} = \mu_{2}$ 이다. 즉 $$ \rho_{1} \circ \mu_{1} \ne \mu_{1} \circ \rho_{1} $$ 이고, 따라서 $S_{3}$ 은 가환군이 아니다. 진짜 증명은 수학적 귀납법을 통해 모든 $S_{n}$ 이 이러한 반례를 가짐을 보이는 것으로 충분하다.