📂미분적분학

함수와 함수의 테일러 급수가 같을 조건

정리¹

함수 $f$ 가 점 $a$ 근방에서 무한히 미분가능하고, $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {{f^{(n)} (a)}\over{n!}} {(x-a)}^n$ 일 필요충분조건은 어떤 $\xi \in \mathscr{H} \left\{ x , a \right\}$ 에 대해

$$\lim_{n \to \infty} {{f^{(n)} (\xi)}\over{n!}} {(x-a)}^n = 0$$

$\xi \in \mathscr{H} \left\{ x , a \right\}$ 라 함은 $\xi$ 가 $(x,a)$ 혹은 $(a,x)$ 에 있다는 표현이다.

설명

테일러 정리는 함수가 한 없이 미분가능할 때 흔히 무한급수의 꼴로 표현된다. 이를 테일러 급수라 하며, 특히 $a=0$인 경우 매클로린 급수라 부른다. 테일러 급수는 테일러 공식^{taylor formula} , 테일러 전개^{taylor Expansion} 등으로도 많이 불린다.

증명

테일러 정리

함수 $f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 $n$ 번 미분가능하면 $x_{0} \in (a,b)$ 에 대해

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} {{( x - x_{0} )^{k}\over{ k! }}{f^{(k)}( x_{0} )}} + {(x - x_{0} )^{n}\over{ n! }}{f^{(n)}(\xi)}$$

를 만족하는 $\xi \in (a,b)$ 가 존재한다.

테일러 정리에 의해

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} {{( x - a )^{k}\over{ k! }}{f^{(k)}( a )}} + {(x - a )^{n}\over{ n! }}{f^{(n)}(\xi)}$$

를 만족하는 $\xi$ 가 $x$ 와 $a$ 사이에 적어도 하나 존재한다. 함수 $f$ 는 무한히 미분 가능하므로,

$$f(x) =\lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k=0}^{n-1} {{f^{(k)} (a)}\over{k!}} {(x-a)}^k + {{f^{(n)} (a)}\over{n!}} {(x-a)}^n \right]$$

만일 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {{f^{(n)} (a)}\over{n!}} {(x-a)}^n = 0$ 이면

$$f(x) =\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} {{f^{(k)} (a)}\over{k!}} {(x-a)}^k = \sum_{n=0}^{\infty} {{f^{(n)} (a)}\over{n!}} {(x-a)}^n$$

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