거리공간의 제1가산성과 제2가산성
정리
설명
위상수학에서 온갖 추상적인 공간들을 보고나면 거리공간이 얼마나 편리하고 좋은 공간인지 깨닫게 된다.
증명
[1]
거리공간 $\left( X , d \right)$ 에 대해 $x \in X$ 라고 하면 $$ \left\{ \left. B_{d} \left(x , {{1} \over {n}} \right) \ \right| \ n \in \mathbb{N} \right\} $$ 은 $x$ 에 대한 가산 국소기저이므로, $X$ 는 제1가산이다.
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[2]
거리공간 $\left( X , d \right)$ 가산이면서 조밀한 $A \subset X$ 이 존재한다고 하면 $X$ 는 가분 거리공간이다. $A$ 가 가산이므로 $$ \mathscr{B} := \left\{ \left. B_{d} \left(a , {{1} \over {n}} \right) \ \right| \ a \in A, n \in \mathbb{N} \right\} = \bigcup_{ a \in A } \left\{ \left. B_{d} \left(x , {{1} \over {n}} \right) \ \right| \ n \in \mathbb{N} \right\} $$ 역시 가산이다. 이 $\mathscr{B}$ 가 $X$ 의 기저임을 보이면 증명은 끝난다.
$X$ 의 열린 집합 $U$ 에 대해 $x \in U$ 라고 하면 $B_{d} \left( x , r \right) \subset U$ 를 만족하는 $r>0$ 이 존재한다. 역수가 $r$ 의 절반보다 작아지는, 즉 $\displaystyle {{1} \over {n_{x}}} < {{r} \over {2}}$ 를 만족시키는 $n_{x} \in \mathbb{N}$ 을 잡자. $A$ 가 조밀하므로, $$ a_{x} \in A \cap B_{d} \left( x , {{1} \over {n_{x}}} \right) $$ 를 만족하는 $a_{x}$ 가 존재한다. 그러면 $$ B_{d} \left( a_{x} , {{1} \over {n_{x}}} \right) \in \mathscr{B} $$ 이고 $$ x \in B_{d} \left( a_{x} , {{1} \over {n_{x}}} \right) \subset B_{d} \left( x , r \right) \subset U $$ 이므로 $\displaystyle U = \bigcup_{x \in U} B_{d} \left( a_{x} , {{1} \over {n_{x}}} \right)$ 이다.
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이러한 두 정리를 통해 다음의 사실을 알 수 있다.