📂위상수학

제1가산과 제2가산

정의 ¹

위상공간 $X$ 이 주어져 있다고 하자.

1. 모든 점 $x \in X$ 에 대해 가산 국소기저가 존재하면 제1가산 공간이라 한다.
2. $X$ 가 가산 기저를 가지면 제2가산 공간이라 한다.

설명

기저와 국소기저라는 개념을 통해 가산의 새로운 갈래를 만들어냈다고 보면 된다.

제1가산이 되지 못하는 예시

여유한공간 $\left( \mathbb{R} , \mathscr{T}_{f} \right)$ 은 제1가산이 되지 못하며, 말할 것도 없이 제2가산도 되지 못한다.

직관적인 이해

정확한 설명은 아니지만 제1가산은 모든 점에서 열린 집합이 셀수 있는 만큼 존재하는 느낌으로 받아들일 수 있다. 반면 제2가산은 가산 집합이 전체를 아우른다는 센스에서 가분의 개념과 닮아있다. 1가산과 제2가산은 제1범주 & 제2범주와 달리 서로 부정이 아니며 포함관계를 가진다. 이는 기저와 국소기저 사이의 관계를 생각해보면 어렵지 않게 확인할 수 있다. 한편 앞서 제2가산이 가분의 개념과 닮아있다고 했는데, 사실 그뿐만 아니라 진짜 가분임을 보일 수도 있다.

정리

• [1]: 모든 제2가산 공간은 제1가산 공간이다.
• [2]: 모든 제2가산 공간은 가분이다.

증명

제2가산 공간은 제1가산이다

$X$ 를 제2가산 공간이라고 하면 $X$ 는 가산 기저 $\mathscr{B}$ 을 가질 것이다.

기저와 국소기저의 관계: $\mathscr{B}$ 가 $X$ 의 기저면 $\mathscr{B}_{x} := \left\{ B \in \mathscr{B} \ | \ x \in B \right\}$ 는 $x \in X$ 의 국소기저다.

$\mathscr{B}_{x} = \left\{ B \in \mathscr{B} \ | \ x \in B \right\}$ 는 모든 $x \in X$ 에 대해서 가산이므로, $X$ 는 제1가산이다.

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제2가산 공간은 가분이다

$X$ 를 제2가산 공간이라고 하면 $X$ 는 가산 기저 $\mathscr{B}$ 을 가질 것이다. 모든 공집합이 아닌 $B \in \mathscr{B}$ 에 대해 $x_{B} \in B$ 를 선택해 $D : = \left\{ x_{B} \in B \ | \ \emptyset \ne B \in \mathscr{B} \right\}$ 를 정의하자. $D$ 는 가산 기저인 $\mathscr{B}$ 에서 원소를 하나씩 뽑아온 집합이므로 $D$ 역시 가산이고, $\overline{D} = X$ 임을 보이면 증명은 끝난다.

$U$ 가 $x \in X \setminus D$ 를 포함한 열린 집합이라고 하자.

$\mathscr{B}$ 이 $X$ 의 기저이므로 $x \in B \subset U$ 를 만족하는 $B \in \mathscr{B}$ 가 존재할 것이다. $x_{B} \in B \cap D$ 이고 $x \notin D$ 이므로 $$D \cap (B \setminus \left\{ x \right\} ) \ne \emptyset$$ 이다. 앞서 말했듯 $B \subset U$ 이므로 $$D \cap (U \setminus \left\{ x \right\} ) \ne \emptyset$$ 이 여전히 성립한다. 집적점의 정의에 의해 $x$ 는 $D$ 의 집적점이고 $x \in \overline{D}$ 이므로 $X \setminus D \subset \overline{D}$ 이다. 물론 $D \subset \overline{D}$ 이므로 이를 동시에 만족하려면 $X = \overline{D}$ 이어야한다.

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