📂위상수학

위상공간에서의 가분과 폐포

정의 ¹

위상공간 $X$ 에 대해 $A \subset X$ 라고 하자.

1. $x \in O \subset A$ 를 만족하는 열린 집합 $O$ 가 존재할 때, $x$ 를 $A$ 의 내점^{interior point}이라 한다.
2. $A$ 의 내점의 집합 $A^{\circ}$ 를 $A$ 의 내부^interior라 한다.
3. $A$ 와 그 도집합의 합집합 $\overline{A} : = A \cup a '$ 를 $A$ 의 폐포^closure라 한다.
4. $x \in \overline{A}$ 이면서 $x \in \overline{X \setminus A}$ 일 때, $x$ 를 $A$ 의 경계점^{boundary point}라 한다.
5. $\partial A : = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}$ 를 $A$ 의 경계^boundary라 한다.
6. $\overline{A} = X$ 일 때, $A$ 가 $X$ 에서 조밀하다^dense고 한다.
7. $\left( \overline{A} \right) ^{\circ} = \emptyset$ 일 때, $A$ 가 $X$ 에서 어디에서도 조밀하지 않다^{nowhere dense}고 한다.
8. $X$ 가 조밀한 가산부분집합을 가지면 $X$ 가 가분^separable이라 한다.

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• $\overline{A}$ 과 $A^{\circ}$ 은 각각 $A$ 의 클로져, 인테리어다.

설명

우선 거리 공간에서 정의해왔던 여러가지 정의들을 가져와도 전혀 문제가 없음을 확인하자.

대표적인 가분 공간의 예시로는 $\overline{ \mathbb{Q} } = \mathbb{R}$ 이 있다.

가산부분집합이라는 말이 어렵다면 우선은 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 로 실수공간 $\mathbb{R}$ 을 쪼갠다고 생각해보자. 이러한 이미지는 상상하긴 쉽지만 어떤 집합이든 그 부분집합들로 나누는 건 쉬운 일이기 때문에 아무 의미가 없다. 반대로 불가산집합으로 쪼갠다면 너무 자유분방해서 다루기가 어렵고 결국 아무 의미가 없다. 한편 정의한대로 조밀성과 가산성을 만족시키는 개념이 있다면 너무 간단하지도 어렵지도 않다고 볼 수 있겠다. 그러면 부분집합 $A$ 라는건 부분집합이라고는 하지만 사실 전체집합을 지탱하는 커다란 ‘뼈대’와 같은 느낌이어야 한다.

뼈대라는 비유에서 한걸음 더 나가보자면, 어떤 공간이 가분 공간이라는 말은 곧 어떤 $x \in X$ 가 주어지든 $x$ 로 수렴하는 수열 $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N} }$ 의 존재성을 보장하는 것과 같다. 가령 $x \in \mathbb{R}$ 가 주어졌다고 치면 $x$ 가 무엇이든 $x$ 로 수렴하는 유리수의 수열 $\left\{ q_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 를 잡을 수 있는 것이다.

가분성이 중요한 이유는 그로 인해 내가 원하는 원소로 수렴(조밀)할 수열(가산)을 만들 수 있기 때문이다. 실용적인 측면으로 보면 이 성질의 유용함이 더욱 두드러진다. 응용수학에서 어떤 복잡한 함수를 우리가 잘 알고 쉬운 함수들로 근사시키는 것은 두 말할 필요 없이 중요한 일이다.

예를 들어 연속함수의 공간 $C[a,b]$ 는 가분 공간인데, 이에 따라 어떤 $f \in C[a,b]$ 가 주어지든 $f$ 로 수렴하는 연속함수의 수열 $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 존재한다는 걸 알 수 있는 것이다. 이 $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 구체적으로 무엇인지 밝혀내는 것은 수치해석과 같은 응용수학의 몫이지만, 존재하는 걸 밝히는 것은 순수수학의 몫이다.

정리

조밀성의 판별법

한편 조밀성을 판정하는 방법으로써 아래의 유용한 동치조건이 있으니 반드시 기억하도록 하자.

$A$ 가 $X$ 에서 조밀하다는 것과 $X$ 의 모든 열린 부분집합 $U$ 에 대해 $U \cap A \ne \emptyset$ 은 동치다.

기초 성질: 부분공간의 경계

• [1]: $\partial A \subset A \iff A = \overline{A}$
• [2]: $\partial A \subset X \setminus A \iff A = A^{\circ}$
• [3]: $\partial A = \emptyset \iff A = A^{\circ}= \overline{A}$

가산이랑은 상관 없지만 위의 개념들을 새롭게 정의한만큼 위의 성질들을 알아두도록 하자.

경계를 이용해서 공간이 열려있냐 닫혀있냐를 판단 할 수 있어 유용한 성질들이다. 위상수학에 익숙해질수록 점점 공간같은 공간과는 멀어지기 때문에 이렇게 단어만으로도 정의를 짐작할 수 있고 생각할 수 있음에 감사하자.