📂추상대수

순환군의 부분군은 순환군임을 증명

정의 ¹

순환군 $G$ 의 부분군 $H \leqslant G$ 은 순환군이다.

설명

생각을 조금만 해보면 당연한 사실이지만 상당히 중요한 정리일뿐만 아니라 증명 역시 간단하지만은 않다.

증명

$H = \left\{ e \right\}$ 일 경우 $H = \left< e \right>$ 이므로 순환군이다.

$H \ne \left\{ e \right\}$ 일 경우 어떤 자연수 $n$ 에 대해 $a^{n} \in H$ 일 것이고, 이를 만족하는 가장 작은 자연수를 $m$ 이라고 하자. $c := a^m$ 일 때 $H = \left< a^m \right> = \left< c \right>$ 이 성립함을 보이면 증명은 끝난다.

모든 $b \in H$ 에 대해서 $b = a^{n} \in G$ 일 것이고, 어떤 $q , r \in \mathbb{N}$ 에 대해 $n = m q + r$ 이 성립할 것이다. 여기서 $0 \le r < m$ 이라고 하면 $q$ 와 $r$ 은 단 하나로 특정된다. $$a^{n} = a^{mq + r} = (a^{m})^{q} a^{r}$$ 이고 $a^{r}$ 에 대해 정리하면 $$a^{r} = (a^{m})^{-q} a^{n} \\ a^{n} = b \in H$$ 이고 $a^{m} \in H$ 이면서 $H$ 역시 군이므로 $(a^{m})^{-q}$ 과 $a^{n}$ 은 $H$ 에 포함된다. 따라서 $$(a^{m})^{-q} a^{n} = a^{r} \in H$$ 이다. 한편 $m$ 은 $a^{m} \in H$ 을 만족시키는 가장 작은 자연수였고 모든 경우에 대해 $0 \le r < m$ 를 만족시키는 경우는 $r = 0$ 뿐이다. 결국 $r = 0$ 이어야하고, $$b = a^{n} = a^{mq} = (a^{m})^{q} = c^{q}$$ 이다. 모든 원소가 $c$ 의 거듭제곱으로 표현할 수 있으므로, $H = \left< c \right>$ 는 순환군이다.

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