📂추상대수

모든 순환군은 가환군임을 증명

정리 ¹

모든 순환군은 가환군이다.

설명

굳이 따로 증명하지 않더라도 순환군이 정수군과 동형이라는 것을 보이면 자연스럽게 따라오는 사실이기도 하다.

증명

순환군 $G := \left< a \right>$ 에 대해, $g_{1} = a^{r}$ 그리고 $g_{2} = a^{s}$ 라고 하자. $$g_{1} g_{2} = a^{r} a^{s} = a^{r+s} = a^{s+r} = a^{s} a^{r} = g_{2} g_{1}$$ 이므로 $G$ 는 가환군이다.

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