우함수와 기함수
정의
- $f(-x) = f(x)$ 를 만족하는 함수 $f(x)$ 를 우함수even라고 한다.
- $f(-x) = -f(x)$ 를 만족하는 함수 $f(x)$ 를 기함수odd라고 한다.
설명
우함수는 좌표평면에서 $y$ 축에 대칭인 함수, 기함수는 원점 $O$ 에 대칭인 함수를 말한다.
예시로 삼각함수 중 기함수인 $\sin$과 우함수인 $\cos$ 을 들 수 있겠다. $\sin$ 을 미분하면 $\cos$이, $\cos$ 을 미분하면 $\sin$ 이 된다. 별 필요 없어보이지만 알아두면 함수를 정확하게 몰라도 되는 상황에서 쓸만하다.
도함수
$f$ 가 실수 전체에서 미분가능하면 다음이 성립한다.
- [1] 우함수의 도함수는 기함수다.
- [2] 기함수의 도함수는 우함수다.
유도
$f(x)$를 임의의 기함수, $g(x)$를 임의의 우함수라고 하자.
$f(x)=-f(-x)$이므로 $$ f ' (x)=f ' (-x) $$ $g(x)=g(-x)$이므로 $$ g ' (x)=-g ' (-x) $$
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따름정리
또 하나 더 알아두면 좋은 것이, 우함수 $g(x)$ 의 도함수 $g ' (x)$ 는 항상 $g ' (0)=0$ 이다.
증명
$$ \begin{align*} & g ' (x)=-g ' (-x) \\ \implies& g ' (0)=-g ' (-0) \\ \implies& 2g ' (0)=0 \\ \implies& g ' (0)=0 \end{align*} $$
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