공진리란?

정리

임의의 명제 $p$ 와 모순 $c$ 그리고 $A_{\alpha} \subset X$ 에 대해 다음이 성립한다.

[1] 공진리: $c \implies p$
[2] 합집합: $\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = \emptyset$
[3] 교집합: $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = X$

설명

예를 들어 “신은 죽었다.” 라는 말에서 신이 존재하지 않는다면, 가정부터 틀려먹었다면 어떻게 되는 걸까? 신이 존재하지 않는다면 $0$ 명의 신이 죽은 것이므로 누가 진짜 죽었나 살았나 따질 것도 없이 참이 된다. 한편 “신은 살아있다.” 라는 말 역시 신이 존재하지 않는다면 $0$ 명을 확인하는 것이므로 반드시 참이다.

이렇듯 가정이 모순이라면 주장이 무엇이든 상관 없이 참이 되는 것을 공진리^{vacuous Truth} 혹은 항진이라 한다. 물론 저 형태 말고도 다른 항진명제는 있지만 그 중에서 가장 받아들이기 어려운 게 $c \implies p$ 이다. 위 예시와 비슷하게 집합이 주어졌을 때 그 부분집합을 $0$ 개만큼 합집합을 취하거나 교집합을 취할 수 있다. $\displaystyle \sum_{n=0}^{0} n = 0$ 인 것을 생각해보면 조금은 받아들이기 쉬워질 것이다.

증명

공진리

$p$ 가 참일때와 거짓일 때 모두 $c \to p$ 가 참임을 보이면 된다. $x \to y \equiv \lnot ( x \land \lnot y )$ 이므로 $$ c \to p \equiv \lnot ( c \land \lnot p ) $$ $p$ 가 참이든 거짓이든 $c$ 와 논리곱을 취한 결과는 거짓이므로 $$ \lnot ( c \land \lnot p ) \equiv \lnot c $$ 모순 $c$ 의 부정은 항상 참이므로 $c \to p$ 는 $p$ 에 관계없이 참이다.

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합집합

모든 $x \in X$ 에 대해 $\displaystyle x \notin \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha}$ 임을 보이면 된다. $$ \begin{align*} x \notin \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} \iff & \lnot \left( x \in \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} \right) \\ \iff & \lnot ( x \in A_{\alpha_{0}} \text{ for some } \alpha_{0} \in \emptyset ) \\ \iff &x \notin A_{\alpha} \text{ for all } \alpha \in \emptyset \\ \iff & \alpha \in \emptyset \to x \notin A_{\alpha} \end{align*} $$ 집합 $\emptyset$ 이 원소를 가진다는 것은 공집합의 정의에 모순이므로, $\alpha \in \emptyset$ 은 거짓이다. [1] 공진리에 따라 $\alpha \in \emptyset \to x \notin A_{\alpha}$ 은 참이고 그와 동치인 $\displaystyle x \notin \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha}$ 도 참이다.

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교집합

모든 $x \in X$ 에 대해 $\displaystyle x \in \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha}$ 임을 보이면 된다. $$ \begin{align*} x \in \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} \iff & x \in A_{\alpha} \text{ for all } \alpha \in \emptyset \\ \iff &\alpha \in \emptyset \to x \in A_{\alpha} \end{align*} $$ 이 역시 집합 $\emptyset$ 이 원소를 가진다는 것은 공집합의 정의에 모순이므로, $\alpha \in \emptyset$ 은 거짓이다. [1] 공진리에 따라 $\alpha \in \emptyset \to x \in A_{\alpha}$ 은 참이고 그와 동치인 $\displaystyle x \in \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} $ 도 참이다.

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