📂동역학

유사성 차원

정의

집합 $\displaystyle A := \lim_{n \to \infty} A_{n}$ 가 자기유사 집합이라고 하자. $A_{1}$ 이 가지는 $A_{0}$ 와 유사한 부분집합을 $A_{0}$ 의 복제본^{copy of $A_{0}$}라 부를 때, $A_{0}$ 의 복제본의 볼륨^volume을 $r$배 해서 $A_{0}$ 의 볼륨과 같아지는 $r$ 을 스케일 팩터^{scale factor}라 부르자. $A_{1}$ 이 서로소인 $A_{0}$ 의 복제본을 $m$ 개 가진다고 할 때, 다음과 같이 정의된 $d$ 를 유사성 차원^{similarity dimension}이라 한다¹. $$d := {\frac{ \log m }{ \log r }}$$ 여기서 볼륨이란 길이, 넓이, 부피 등을 말한다.

설명

유사성 차원이란 프랙털 차원의 일종으로써 기하적인 센스에서 자연스럽게 정의된다. 개념을 직관적으로 이해할 수 있는 예로써 다음과 같이 정사각형의 각 변을 $n$등분해서 새로운 선분을 긋는 도형을 상상해보자.

변의 길이를 $2$등분하면 생겨나는 새로운 사각형의 길이는 기존의 $1/2$가 되고, 그렇게 작은 정사각형은 $4$개 생겨난다. 마찬가지로 변의 길이를 $3$등분하면 당연히 한 변의 길이가 기존의 $1/3$인 정사각형 $9$개가 생겨난다. 유사성 차원의 정의에서 스케일 팩터는 이렇게 줄어드는 길이의 역수인 $r = n$ 이라 볼 수 있고, 복제본의 수는 $m = n^{2}$ 임이 어렵지 않게 확인된다. 이에 따르면 정사각형이라는 것의 유사성 차원은 $$d = {\frac{ \log m }{ \log r }} = {\frac{ \log n^{2} }{ \log n }} = 2$$ 와 같이 계산되고, 정사각형의 유사성 차원이 $2$라고 말할 수 있다. 이는 우리가 정사각형을 $2$차원 도형이라고 생각하는 상식과 일치한다. 놀라울 것도 없이, 이는 일반적인 하이퍼큐브 $[0, 1]^{d}$ 에 대해서도 일관되게 성립한다.

칸토어 집합

칸토어 집합은 선분의 길이가 $1/3$ 로 줄어드는 대신 그러한 선분이 $2$개 생겨난다. $r = 3$ 이고 $m = 2$ 이므로, 칸토어 집합의 유사성 차원은 다음과 같이 계산된다. $$d = {\frac{ \log m }{ \log r }} = {\frac{ \log 2 }{ \log 3 }} \approx 0.63$$ 이는 길이의 합은 $0$ 이면서 비가산 집합이고 그렇다고 완전한 선분도 아니라서 칸토어 집합이 $0$차원과 $1$차원 사이 어딘가의 차원을 가질 것 같다는 영감을 준다.

폰 코흐 커브

폰 코흐 커브는 선분의 길이가 $1/3$ 로 줄어드는 대신 그러한 선분이 $4$개 생겨난다. $r = 3$ 고 $m = 4$ 이므로, 폰 코흐 커브의 유사성 차원은 다음과 같이 계산된다. $$d = {\frac{ \log m }{ \log r }} = {\frac{ \log 4 }{ \log 3 }} \approx 1.26$$ 폰 코흐 커브의 길이는 무한하지만 그렇다고 저렇게 극심하게 접히는 곳에서 넓이가 생길 이유도 없다. 이러한 결과 역시 폰 코흐 커브가 $1$차원보다는 크지만 $2$차원보단 작은 차원에 놓일 것임을 직관적으로 보여주고 있다.

한계

유사성 차원의 예를 보면서 프랙털에 대한 감이 어느정도 생겼다면 좋은 일이지만, 아쉽게도 앞으로 살면서 유사성 차원이라는 걸 다시 볼 일은 거의 없다. 컴퓨터의 계산을 빌리지 않고도 정확한 값을 계산할 수 있는 것까진 좋지만, 애초에 엄밀한 정의를 내리기 어려운 자기유사 집합을, 그것도 명확한 규칙을 가진 경우에만 언급할 수 있기 때문이다. 현실 세상에서 데이터로써 주어질 기하적인 요소들에 대해서는 이러한 규칙을 알 수 없고, 따라서 유사성 차원은 교과서적인 개념으로써 머물게 된다.

같이보기

• 프랙털
• 하우스도르프 차원
• 유사성 차원
• 박스-카운팅 차원
• 상관관계 차원