📂미분적분학

로피탈의 정리 증명

정리¹

$f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $x=a$ 의 근방에서 미분가능하고 $g ' (x) \ne 0$ 이며 $\displaystyle \lim _{x \to a} f(x) = \lim _{x \to a} g(x) = 0$ 이면

$$\lim _{x \to a} {{f(x)} \over {g(x)}} = \lim _{x \to a} {{f ' (x)} \over {g ' (x)}}$$

설명

수험생들에게는 마검같은 정리로 이미 수 많은 고등학생들이 배워서 써먹고 있으나, 개인적으로 수능을 몇 달 앞두기 전엔 알아도 봉인해두고 가능한 정석대로 푸는 게 좋다고 생각한다.

사실 이 정리를 처음으로 증명한 것은 로피탈이 아니고 로피탈이 원조해주던 수학자 요한 베르누이였다고 한다.

증명

$f(a)=g(a)=0$ 이므로

$$\lim _{x \to a} {{f(x)} \over {g(x)}} = \lim _{x \to a} {{f(x)-f(a)} \over {g(x)-g(a)}}$$

이다. 또한

$$f(x)-f(a) = \begin{cases} f(x) & ,x \ne a \\ 0 & , x=a \end{cases} \\ g(x)-g(a) = \begin{cases} g(x) & ,x \ne a \\ 0 & , x=a \end{cases}$$

이므로 ${f(x)-f(a)}$와 ${g(x)-g(a)}$ 는 $[x,a]$ 혹은 $[a,x]$에서 연속, $(x,a)$ 혹은 $(a,x)$에서 미분가능하다.

코시의 평균값 정리

함수 $f(x), g(x)$가 $[a,b]$에서 연속이고 $(a,b)$에서 미분가능하고 $g ' (x) \ne 0$ 이면 $\displaystyle {{f ' (c)}\over{g ' (c)}}={{f(b)-f(a)}\over{g(b)-g(a)}}$를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

코시의 평균값 정리에 의해 $\displaystyle {{f ' (c)}\over{g ' (c)}}={{f(x)-f(a)}\over{g(x)-g(a)}}$ 를 만족하는 $c$ 가 $(x,a)$ 혹은 $(a,x)$ 에 적어도 하나 존재한다. $c$가 $(x,a)$ 혹은 $(a,x)$ 에 존재하기 때문에 $x \to a$ 일 때 $c \to a$ 이고

$$\begin{align*} \lim _{x \to a} {{f(x)} \over {g(x)}} =& \lim _{x \to a} {{f(x)-f(a)}\over{g(x)-g(a)}} \\ =& \lim _{c \to a} {{f ' (c)}\over{g ' (c)}} \\ =& \lim _{x \to a} {{f ' (x)}\over{g ' (x)}} \end{align*}$$

■