📂양자역학

연속 스펙트럼과 디랙 규격화

개요¹

양자역학에서 관측가능량은 에르미트 연산자로 표현되고, 측정으로 얻을 수 있는 값은 그 연산자의 고유값이다. 고유값 전체의 집합인 스펙트럼은 크게 둘로 나뉜다.

• 이산 스펙트럼^{discrete spectra}: 고유값들이 서로 양자화되어 있는 경우. 고유함수들은 규격화가 가능하여 물리적으로 실현 가능한 상태를 나타낸다. 무한 퍼텐셜 우물이나 조화진동자의 해밀토니안이 대표적인 예다.

• 연속 스펙트럼^{continuous spectra}: 고유값이 어떤 범위를 연속적으로 가득 채우는 경우. 고유함수들은 규격화가 불가능하여 어떤 것도 파동함수가 될 수 없다. 자유입자의 해밀토니안, 위치 연산자와 운동량 연산자가 대표적인 예다.

이산 스펙트럼의 경우 고유함수들이 힐베르트 공간 안에 있어 내적의 존재가 보장되므로, 에르미트성으로부터 고유값이 실수라는 것과 서로 다른 고유값에 대응하는 고유함수들이 직교한다는 것을 쉽게 증명할 수 있다. 반면 연속 스펙트럼의 경우 고유함수가 힐베르트 공간의 원소가 아니어서 내적을 쓰는 이 증명이 통하지 않는다. 에르미트 연산자임에도 실수가 아닌 고유값에 형식적인 고유함수가 대응할 수 있으며, 실제로 🔒(26/08/05)운동량 연산자는 임의의 복소수 $p$에 대해 고유함수의 꼴을 갖는 해를 가진다. 그럼에도 불구하고 실수 고유값에 대응하는 고유함수들만 모으면 직교성과 🔒(26/07/18)완비성이 성립하는데, 여기에서 중요한 역할을 하는 것이 디랙 델타 함수이다.

설명

연산자 $\hat{Q}$가 아래의 고유값 방정식을 만족한다고 하자.

$$ \hat{Q} f = q f $$

고유값들의 집합 $\left\{ q_{n} \right\}$가 이산 스펙트럼인 경우에 그 고유함수들은 규격화와 그람-슈미트 직교화를 거쳐 크로네커 델타로 표현되는 정규직교조건 $\braket{f_{m} | f_{n}} = \delta_{mn}$을 만족하도록 잡을 수 있다. 그러면 고유함수들의 집합이 🔒(26/07/18)완비성 $\sum_{n} \ket{f_{n}}\bra{f_{n}} = \hat{I}$을 갖기 때문에 임의의 파동함수 $\psi$에 대해서 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \psi = \sum\limits_{n} c_{n}\ket{f_{n}} \qquad c_{n} = \braket{f_{n} | \psi} $$

반면에 고유값들이 연속 스펙트럼인 경우에는 고유함수가 힐베르트 공간에 있지 않은, 제곱적분가능하지 않은 함수이다. 가령 운동량 연산자의 실수 고유값 $p$에 대응하는 고유함수 $f_{p}$는 아래와 같은 평면파이고, 위치 연산자의 고유값 $y$에 대응하는 고유함수 $g_{y}$는 디랙 델타 함수 그 자체이다.

$$ f_{p}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}} e^{\i p x / \hbar}, \qquad g_{y}(x) = \delta (x - y) $$

그런데 이 함수들은 힐베르트 공간에 속하지 않으므로, 내적 $\braket{f_{p^{\prime}} | f_{p}}$가 잘 정의되지 않는다. 가령 운동량 연산자의 고유함수를 보면 아래와 같이 정리되는데, $p = p^{\prime}$일 때는 피적분함수가 $1$이라 적분이 발산하고, $p \ne p^{\prime}$일 때는 피적분함수가 진동하여 적분이 통상적인 의미로 수렴하지 않는다.

$$ \braket{f_{p^{\prime}} | f_{p}} = \dfrac{1}{2\pi\hbar} \int e^{\i (p - p^{\prime}) x/\hbar} dx $$

이를 해결하기 위해 조금 어려운 수학을 사용하면 아래와 같이 나타낼 수 있으며, 이를 디랙 규격화^{Dirac orthonormality}라 한다.

$$ \braket{f_{p^{\prime}} | f_{p}} = \delta (p - p^{\prime}) $$

그리하여 연속 스펙트럼에서는 정규직교조건, 전개, 완비성이 아래와 같이 적분꼴로 나타난다.

이산 스펙트럼	연속 스펙트럼
$$\braket{f_{m}\vert f_{n}} = \delta_{mn}$$	$$\braket{f_{p^{\prime}}\vert f_{p}} = \delta (p - p^{\prime})$$
$$ \psi = \sum\limits_{n}c_{n} \ket{n}$$	$$ \psi = \int_{-\infty}^{\infty} c(z) \ket{z} dz$$
$$\hat{I} = \sum\limits_{n} \ket{n}\bra{n}$$	$$\hat{I} = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{z}\bra{z} dz$$

같이보기

• 🔒(26/07/18)고유함수의 완비성
• 디랙 델타 함수
• 운동량 연산자
  • 🔒(26/08/05)운동량 연산자의 고함수
• 위치 연산자
  • 🔒(26/07/20)위치 연산자의 고유함수