특수 선형 리 대수
정의
대각합이 $0$인 행렬들의 집합을 $\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C})$라 한다.
$$ \mathfrak{sl}(n, \mathbb{C}) = \left\{X \in M_{n}(\mathbb{C}) : \operatorname{tr}(X) = 0 \right\} $$
설명
행렬곱에 대해서 브라켓을 $[X, Y] = XY - XY$로 정의하면 $\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C})$는 리 대수를 이룬다.
정의만 봤을 때는 특수선형군 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})$와 관련이 있어보이지 않지만, 실제로는 $\operatorname{SL}$의 리 대수가 된다.
성질
차원
$\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C})$는 $X$의 대각합이 $0$이라는 하나의 선형 제약조건 $x_{11} + x_{22} + \cdots + x_{nn} = 0$이 추가된 것이므로, 일반선형 리 대수 $\mathfrak{gl}(n, \mathbb{C}) = M_{n}(\mathbb{C})$보다 차원이 하나 작다.
$$ \dim \mathfrak{sl}(n, \mathbb{C}) = n^{2} - 1 $$