📂행렬대수

일매개변수 부분군

정의¹

함수 $A : \mathbb{R} \to \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$가 다음을 만족하면 $A$를 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$의 일매개변수 부분군^{one-parameter subgroup}이라 한다.

1. $A$는 연속함수이다.

2. $A(0) = I$이다. ($I$는 $n \times n$ 항등행렬이다.)

3. $A(s + t) = A(s) A(t)$, $\forall s, t \in \mathbb{R}$.

정리

$A$가 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$의 일매개변수 부분군이면, 다음을 만족하는 $n \times n$ 복소 행렬 $X$가 유일하게 존재한다.

$$ A(t) = e^{tX} $$

이때 $e^{tX}$는 행렬 지수이다.

설명

정의의 세 조건에서 $A(t + s) = A(t) A(s)$는 $A$가 $\mathbb{R}$에서 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$로 가는 준동형사상이라는 것을 의미한다. 즉 $t \mapsto A(t)$는 하나의 실수 $t$에 의해 움직이는 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$ 내의 연속적인 경로인데, 동시에 군 구조를 보존한다.

위의 정리는 중요한 의미를 갖는다. 일매개변수 부분군의 정의에서는 대수적인 조건(3.)을 주었는데, 정리에 따르면 $A$의 해석적인 형태가 구체적으로 정해지는 것은 물론이고 그 꼴이 지수함수 $A(t) = e^{tX}$라는 것이다. 특히나 일매개변수 부분군의 전체 궤적이 단 하나의 행렬 $X=A^{\prime}(0)$로 결정된다.

증명

$X = A^{\prime}(0)$이 곧 정리에서 찾는 행렬이 된다. 이를 위해 먼저 $A$가 미분가능함을 보인다. 행렬값 함수의 적분은 성분별 적분으로 정의한다.

1단계. $A$는 미분가능하다.

행렬값 함수의 적분은 성분별 적분으로 정의하므로, 아래와 같은 보조함수 $H$를 생각하자.

$$ H(s) := \int_{0}^{s} A(u) du, \qquad H_{ij}(s) = \int_{0}^{s} A_{ij}(u) du $$

$A$의 각 성분 $A_{ij}$는 연속함수이므로, 미분적분학의 기본정리에 의해 각 $H_{ij}$는 미분가능하다.

$$ H_{ij}^{\prime}(s) = A_{ij}(s), \qquad H^{\prime}(s) = A(s) \tag{1} $$

이제 두 가지를 보인다.

(i) $B$의 가역성.

$\frac{1}{\epsilon} \int_{0}^{\epsilon} A(t) dt$는 $H$를 이용하면 $s = 0$에서의 미분계수이다. $(1)$에 의해

$$ \lim\limits_{\epsilon \to 0}\frac{1}{\epsilon} \int_{0}^{\epsilon} A(t) dt = \lim\limits_{\epsilon \to 0}\frac{H(\epsilon) - H(0)}{\epsilon} = H^{\prime}(0) = A(0) = I $$

행렬식 $\det$는 연속함수이고 $\det I = 1 \ne 0$이므로, 충분히 작은 $\epsilon > 0$를 택하면 $\det \left( \dfrac{1}{\epsilon} \int_{0}^{\epsilon} A(t) dt \right) \ne 0$이다. 따라서 $B := \int_{0}^{\epsilon} A(t) dt$는 가역이다.

(ii) $A$의 미분가능성.

조건 $A(s)A(t) = A(s+t)$와 치환 $u = s + t$를 이용하면

$$ A(s) B = \int_{0}^{\epsilon} A(s) A(t) dt = \int_{0}^{\epsilon} A(s+t) dt = \int_{s}^{s+\epsilon} A(u) du $$

이고, $B$가 가역이므로

$$ A(s) = \left( \int_{s}^{s+\epsilon} A(u) du \right) B^{-1} $$

우변의 적분을 $H$로 다시 쓰면 $\int_{s}^{s+\epsilon} A(u) du = H(s+\epsilon) - H(s)$인데, $(1)$에서 $H$가 미분가능하므로 이 함수도 $s$에 대해 미분가능하고 다음이 성립한다.

$$ \frac{d}{ds} \left( \int_{s}^{s+\epsilon} A(u) du \right) = H^{\prime}(s+\epsilon) - H^{\prime}(s) = A(s+\epsilon) - A(s) $$

괄호안의 적분이 미분가능하고 $B^{-1}$가 $s$에 무관한 상수행렬이므로, 이 둘의 곱은 미분가능하다. 또한 그 도함수 $\big( A(s+\epsilon) - A(s) \big) B^{-1}$가 연속이므로 $A$는 $C^{1}$이다.

2단계. $A^{\prime} (t) = A(t) X$.

$A$가 미분가능하므로, 조건 $A(t+h) = A(t)A(h)$와 $A(0) = I$로부터 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} A^{\prime}(t) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{A(t+h) - A(t)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} A(t) \dfrac{A(h) - A(0)}{h} \\ &= A(t) A^{\prime}(0) = A(t) X \end{align*} $$

3단계. $A(t) = e^{tX}$.

$C(t) := A(t) e^{-tX}$로 두자. 행렬지수의 성질에 의해 $\dfrac{d}{dt} e^{-tX} = -X e^{-tX}$이고, 행렬값 함수 미분의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$$ C^{\prime}(t) = A^{\prime}(t) e^{-tX} + A(t) \left( -X e^{-tX} \right) = A(t) X e^{-tX} - A(t) X e^{-tX} = 0 $$

따라서 $C$는 상수이고 $C(t) = C(0) = A(0) e^{O} = I^{2} = I$이다. 즉 $A(t) e^{-tX} = I$이고, 양변에 $e^{tX}$를 곱하면 $A(t) = e^{tX}$를 얻는다.

4단계. 유일성.

모든 $t$에 대해 $A(t) = e^{tX} = e^{tY}$라 하자. 양변을 $t$로 미분하여 $t = 0$을 대입하면 $X = Y$를 얻는다.

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