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거리공간에서 연속과 균등연속 📂거리공간

거리공간에서 연속과 균등연속

정의

두 거리 공간 (X,dX)\left( X , d_{X} \right), (Y,dY)\left( Y , d_{Y} \right)와 부분집합 E⊂XE\subset X 에 대해 함수 f:E→Yf : E \to Y 를 정의하자.

  • p∈Ep \in E라고 하자. 임의의 ε>0\varepsilon > 0 에 대해

    x∈EanddX(p,x)<δ  ⟹  dY(f(p),f(x))<ε x \in E \quad \text{and} \quad d_{X}(p, x ) < \delta \implies d_{Y}(f(p) , f(x) ) < \varepsilon

    을 만족하는 δ>0\delta>0 가 존재하면 ff 는 p∈Ep \in E 에서 연속이라 한다. ff가 EE 의 모든 점에서 연속이면 ff를 EE 위에서의 연속함수continuous function라 한다.

  • 임의의 ε>0 \varepsilon > 0 에 대해

    dX(x1,x2)<δ∧x1,x2∈E  ⟹  dY(f(x1),f(x2))<ε d_{X}(x_{1}, x_{2} ) < \delta \land x_{1}, x_{2} \in E \implies d_{Y}(f(x_{1}) , f(x_{2}) ) < \varepsilon

을 만족하는 δ>0\delta>0 가 존재하면 ff가 EE 위에서 균등연속uniformly continuous이라 한다.

  • ∧\land 는 논리적으로 ‘그리고’를 나타내는 논리곱 기호다.

설명

연속과 균등연속은 R\mathbb{R} 을 넘어서서 거리공간에 대해서도 정의할 수 있다. R\mathbb{R} 에서의 연속과 다른 것은 d1d_{1} 과 d2d_{2} 를 다르게 주는일반화가 가능하다는 것이다.

한편 좀 더 어려운 표현으로, 볼을 사용해서 임의의 BdY(f(p),ε)B_{d_{Y}} (f(p) , \varepsilon ) 에 대해 f(BdX(p,δ))⊂BdY(f(p),ε)f(B_{d_{X}} (p , \delta)) \subset B_{d_{Y}} (f(p) , \varepsilon ) 를 만족하는 BdX(p,δ)B_{d_{X}} (p , \delta) 가 존재할 때 ff 가 p∈Xp \in X 에서 연속이라고도 할 수 있다. 처음 보기에는 너무 추상적이라서 거부감이 들 수 있지만, 계속 보다보면 오히려 이 표현이 더 편해질 것이다. 위상공간으로의 일반화를 생각해보면 미리미리 익숙해져놓는게 더 좋을지도 모른다.

정리: 연속함수일 동치 조건

함수 f:X→Yf:X \to Y 에 대해 아래의 조건들은 서로 동치다.

  • f:X→Yf : X \to Y 는 연속이다.

  • ∀x∈X, lim⁡n→∞pn=p  ⟹  lim⁡n→∞f(pn)=f(p)\forall x \in X,\ \displaystyle \lim_{n \to \infty} p_{n} = p \implies \lim_{n \to \infty} f(p_{n}) = f(p)

  • YY 의 모든 열린 집합 OO 에 대해, f−1(O)f^{-1} ( O ) 는 XX 에서 열린 집합이다.

  • YY 의 모든 닫힌 집합 CC 에 대해, f−1(C)f^{-1} ( C ) 는 XX 에서 닫힌 집합이다.

이와 같은 성질들은 주어진 함수가 연속임을 보이는 등에 유용하게 쓰일 수 있다.

20180116\_150920.png

위 그림을 보면 언뜻 네번째 조건의 반례처럼 보인다. 폐구간 [c,d][c,d] 에 대해 그 프리이미지 f−1[c,d]f^{-1} [c,d] 가 (a,b)(a,b) 고, 알다시피 (a,b)(a,b) 는 개구간이기 때문이다. 그러나 f:(a,b)→Rf : (a,b) \to \mathbb{R} 이므로 (a,b)(a,b) 는 전체공간이 되고, 전체공간은 닫힌 집합이므로 명제에 위배되지 않는다.