📂고전역학

선회반경

정의¹

질량이 $m$이고 관성모멘트가 $I$인 강체에 대해, 선회반경^{radius of gyration} $k$를 다음과 같이 정의한다.

$$ I = m k^{2} $$

이를 $k$에 대해 정리하면 다음과 같다.

$$ k = \sqrt{\frac{I}{m}} $$

설명

선회반경 $k$는 강체의 전체 질량 $m$이 회전축으로부터 거리 $k$인 한 점에 모두 모여 있다고 가정했을 때, 관성모멘트가 변하지 않게 되는 그러한 거리이다. 즉 분포되어 있는 질량을 하나의 점으로 대신할 수 있는 유효 반지름인 셈이다. 이 점은 관성모멘트의 정의 $I = \sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}$와 정의식 $I = mk^{2}$을 비교해보면 더 분명해진다. 전체 질량이 $m = \sum_{i} m_{i}$이므로 두 식을 같다고 두면 다음을 얻는다.

$$ k^{2} = \frac{\sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}}{\sum_{i} m_{i}} $$

즉 $k^{2}$은 각 질점까지의 거리제곱 $r_{i}^{2}$을 질량으로 가중평균한 값이다. 다시 말해 선회반경 $k$는 회전축으로부터 질점들이 떨어져 있는 거리의 (질량을 가중치로 하는) 일종의 평균거리라 할 수 있다.

예를 들어 한쪽 끝을 지나는 축에 대한 길이가 $a$인 얇은 막대의 관성모멘트는 $I = \dfrac{1}{3}ma^{2}$이므로, 그 선회반경은 아래와 같다.

$$ k = \sqrt{\frac{I}{m}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{3}ma^{2}}{m}} = \frac{a}{\sqrt{3}} $$

즉 이 막대의 회전을 직관적으로 요약하면, 회전축으로부터 $\dfrac{a}{\sqrt{3}} \approx 0.577a$만큼 떨어진 질량이 $m$인 질점이 회전하는 것과 같다. 이 값이 막대의 중점인 $a/2 = 0.5a$보다 바깥쪽에 있다는 점에 주목할 만하다. 거리제곱 $r^{2}$으로 가중하기 때문에 회전축에서 먼 부분이 관성모멘트에 더 크게 기여하고, 그 결과 평균거리인 선회반경이 단순한 기하학적 중심보다 바깥쪽으로 치우치게 되는 것이다.

여러 물체의 선회반경

물체의 질량을 $m$이라 하자. 여러 가지 모양의 물체에 대한 선회반경 제곱 $k^{2}$은 아래의 표와 같다. 관성모멘트 $I = mk^{2}$이므로, 이는 각 물체의 관성모멘트를 질량으로 나눈 값과 같다.

물체	변수	회전축	$k^{2}$
얇은 막대	길이 $a$	막대 중앙	$\frac{1}{12}a^{2}$
얇은 막대	길이 $a$	막대 끝	$\frac{1}{3}a^{2}$
얇은 직사각형 판	변 $a$, $b$	변 $b$에 평행한 중심축	$\frac{1}{12}a^{2}$
얇은 직사각형 판	변 $a$, $b$	판에 수직한 중심축	$\frac{1}{12}(a^{2}+b^{2})$
원판	반지름 $a$	원판의 중심을 지나고 원판과 평행한 축	$\frac{1}{4}a^{2}$
원판	반지름 $a$	원판의 중심을 지나고 원판과 수직한 축	$\frac{1}{2}a^{2}$
고리	반지름 $a$	고리의 중심을 지나고 고리와 평행한 축	$\frac{1}{2}a^{2}$
고리	반지름 $a$	고리의 중심을 지나고 고리와 수직한 축	$a^{2}$
원통 껍질	반지름 $a$, 길이 $b$	중심 세로축	$a^{2}$
속찬 원통	반지름 $a$, 길이 $b$	중심 세로축	$\frac{1}{2}a^{2}$
속찬 원통	반지름 $a$, 길이 $b$	세로축에 수직한 중심축	$\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{12}b^{2}$
구 껍질	반지름 $a$	구의 중심을 지나는 축	$\frac{2}{3}a^{2}$
구	반지름 $a$	구의 중심을 지나는 축	$\frac{2}{5}a^{2}$

같이보기

• 관성모멘트
• 평행축 정리