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단순 연결 리 군 📂표현론

단순 연결 리 군

정의

행렬 리 군 $G$가 단순 연결simply connected되어 있다는 것은, $G$가 연결이고, $G$ 위의 모든 폐곡선이 $G$ 위의 한 점으로 연속적으로 수축할 수 있다는 것을 의미한다.

설명

폐곡선이 $G$ 위의 한 점으로 연속적으로 수착한다는 것을 수학적으로 정리하면 다음의 조건을 만족하는 것과 같다. $A(0) = A(1)$인 $G$ 위의 경로에 대해서, 연속함수 $A(t, s)$ $(0 \le s, t \le 1)$가 존재하여,

  • 폐곡선: $A(0, s) = A(1, s)$ $(s \in [0, 1])$
  • 수축 시작점: $A(t, 0) = A(t)$ $(t \in [0, 1])$
  • 수축 끝점: $A(t, 1) = A(0, 1)$ $(t \in [0, 1])$

이를 어려운 말로 간단히 설명하면, 단순 연결이란 모든 폐곡선이 널 호모토픽인 것을 말한다. 위에서 말하는 $A(t, s)$를 호모토피라 한다.

종류

아래의 행렬 리 군들은 단순 연결이다.