행렬값 함수의 극한과 연속
개요
행렬값 함수의 극한과 연속을 정의한다. 행렬값 함수의 극한을 정의하는 방식은 벡터값 함수의 극한을 정의하는 것과 같다. 스칼라 함수의 극한을 각 성분에 적용하는 것으로 자연스럽게 정의된다.
정의
스칼라 함수 $a_{ij} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해서, 다음의 $\mathbf{A} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n \times m}$을 행렬값 함수라 한다.
$$ \mathbf{A}(t) = \begin{bmatrix} a_{11}(t) & \cdots & a_{1m}(t) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(t) & \cdots & a_{nm}(t) \end{bmatrix} $$
$\mathbf{A}$의 $s$에서의 극한limit을 다음과 같이 정의한다.
$$ \lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t) = \begin{bmatrix} \lim\limits_{t \to s} a_{11}(t) & \cdots & \lim\limits_{t \to s} a_{1m}(t) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \lim\limits_{t \to s} a_{n1}(t) & \cdots & \lim\limits_{t \to s} a_{nm}(t) \end{bmatrix} $$
각각의 $a_{ij}$가 연속이면, 즉 다음이 성립하면 $\mathbf{A}$가 $s$에서 연속continuous이라 한다.
$$ \lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t) = \mathbf{A}(s) = \begin{bmatrix} a_{11}(s) & \cdots & a_{1m}(s) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(s) & \cdots & a_{nm}(s) \end{bmatrix} $$
설명
행렬값 함수의 극한과 연속은 본질적으로 벡터값 함수의 경우와 완전히 동일하며, 행렬을 하나의 벡터 $\mathbb{R}^{n \times m} \cong \mathbb{R}^{nm}$으로 생각하면 자연스럽게 이해된다. 즉, $\mathbf{A}(t) = \begin{bmatrix} a_{ij}(t)\end{bmatrix}$에 대해 $\lim\limits_{t \to s}\mathbf{A}(t)$가 존재한다는 것은 $$ \forall i,j, \quad \lim\limits_{t \to s} a_{ij}(t) $$ 가 존재하는 것과 동치이다. 벡터값 함수의 경우와 다른 점은 행렬에서만 정의되는 행렬곱, 전치, 대각합, 행렬식, 역행렬에 관한 내용 등이다.
성질
극한
행렬값 함수 $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$의 $s$에서의 극한이 존재하면, 다음이 성립한다.
(a) $\lim\limits_{t \to s} \left( \mathbf{A}(t) + \mathbf{B}(t) \right) = \lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t) + \lim\limits_{t \to s} \mathbf{B}(t)$
(b) 상수 $c$에 대해, $\lim\limits_{t \to s} c\mathbf{A}(t) = c\lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t)$
(c) $\lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t)\mathbf{B}(t) = \left( \lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t) \right) \cdot \left( \lim\limits_{t \to s} \mathbf{B}(t) \right)$
(d) $\lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t)^{\mathsf{T}} = \left( \lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t) \right)^{\mathsf{T}}$
(e) $\lim\limits_{t \to s} \tr \left( \mathbf{A}(t) \right) = \tr \left( \lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t) \right)$
(f) $\lim\limits_{t \to s} \det \left( \mathbf{A}(t) \right) = \det \left( \lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t) \right)$
단, (a), (c) 에서는 행렬의 합과 곱이 잘 정의되는 크기라 가정한다. $\mathbf{A}^{\mathsf{T}}$는 $\mathbf{A}$의 전치이다. $\tr$은 대각합, $\det$는 행렬식을 의미한다.
연속
$\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$가 $t = s$에서 연속이면, 다음의 함수들도 그러하다.
- $\mathbf{A} + \mathbf{B}$
- $c\mathbf{A}$
- $\mathbf{A}\mathbf{B}$
- $\mathbf{A}^{\mathsf{T}}$
$\mathbf{A}$가 $t = s$에서 연속이고 $\mathbf{A}(s)$가 가역행렬이면, $s$와 충분히 가까운 $t$에 대해서 $\mathbf{A}(t)$도 가역이며 다음이 성립한다.
$$ \lim_{t \to s} \mathbf{A}(t)^{-1} = \left( \lim_{t \to s} \mathbf{A}(t) \right)^{-1} = \mathbf{A}(s)^{-1} $$
증명
행렬의 합이나 곱은 모두 각 성분의 합과 곱으로 이루어져있다. 연속인 스칼라 함수의 합과 곱도 여전히 연속이므로 행렬값 함수에 대해서도 성립한다.
(d), (e), (f)
전치, 대각합, 행렬식은 연속함수이고, 연속함수일 동치조건이 아래와 같으므로 성립한다.
$$ \lim_{t \to s} f(\mathbf{A}(t)) = f\left(\lim_{t \to s} \mathbf{A}(t)\right) $$