📂표현론

컴팩트 심플렉틱 군

정의¹

심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{C})$와 유니터리군 $\operatorname{U}(2n)$의 교집합을 컴팩트 심플렉틱 군^{compact symplectic group}이라 한다.

$$ \operatorname{Sp}(n) := \operatorname{Sp}(n, \mathbb{C}) \cap \operatorname{U}(2n) $$

설명

심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{C})$는 다음과 같은 반대칭 쌍선형 형식 $\omega$를 보존하는 행렬 $Q$들의 집합이다. $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{2n}\end{bmatrix}$, $\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_{1} & \cdots & y_{2n}\end{bmatrix}$에 대해,

$$ \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_{i=1}^{n} (x_{i}y_{n+i} - x_{n+i}y_{i}) $$

$$ \operatorname{Sp}(n, \mathbb{C}) = \left\{ Q \in M_{2n \times 2n}(\mathbb{C}) : \omega(Q \mathbf{x}, Q \mathbf{y}) = \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}), \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{C}^{2n} \right\} $$

유니터리 군은 내적을 보존하는 행렬 $Q$들의 집합이다.

$$ \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} = \sum_{i=1}^{2n} \overline{x_{i}} y_{i} $$

$$ \operatorname{U}(2n) = \left\{ Q \in M_{2n \times 2n}(\mathbb{C}) : \braket{Q \mathbf{x}, Q \mathbf{y}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}}, \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{C}^{2n} \right\} $$

따라서 컴팩트 심플렉틱 군은 $\omega$와 $\braket{\cdot, \cdot}$을 동시에 보존하는 행렬들의 집합이다. 켤례선형함수 $J$를 아래와 같이 정의해서 $\omega$를 내적에 대해서 표현하는 것이 편리하다.

$$ \begin{align*} J: \mathbb{C}^{2n} &\to \mathbb{C}^{2n} \\ \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} &\mapsto \begin{bmatrix} -\overline{\beta} \ \\ \overline{\alpha} \end{bmatrix} \end{align*} $$

위와 같은 $J$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \omega (\mathbf{z}, \mathbf{w}) = \braket{J \mathbf{z}, \mathbf{w}}, \quad \mathbf{z}, \mathbf{w} \in \mathbb{C}^{2n} $$

$$ \braket{J \mathbf{z}, \mathbf{w}} = - \overline{\braket{\mathbf{z}, J\mathbf{w}}} = - \braket{J \mathbf{w}, \mathbf{z}} $$

$$ J^{2} = - I $$

성질

(a) $\operatorname{Sp}(1) = \operatorname{SU}(2)$

(b) $\operatorname{Sp}(n)$은 컴팩트 리 군이다.

(c) $\operatorname{Sp}(n)$은 연결 리 군이다.

(d) $\forall U \in \operatorname{Sp}(n)$, $\det U = 1$

정리

$U \in \operatorname{U}(2n)$에 대해서, $U$가 $\operatorname{Sp}(n)$에 속할 필요충분조건은 $U$와 $J$가 교환 가능인 것이다.

$$ \forall U \in \operatorname{U}(2n),\quad U \in \operatorname{Sp}(n) \iff UJ = JU $$

증명

$U \in \operatorname{U}(2n)$, $\mathbf{z}, \mathbf{w} \in \mathbb{C}^{2}$라 하자. 다음이 성립한다.

$$ \omega(U \mathbf{z}, U \mathbf{w}) = \braket{J U \mathbf{z}, U \mathbf{w}} = \braket{U^{\ast} J U \mathbf{z}, \mathbf{w}} = \braket{U^{-1} J U \mathbf{z}, \mathbf{w}} $$

그러면 아래의 결과를 얻는다.

$$ \begin{align*} && U &\in \operatorname{Sp}(n) \\ \iff && \omega(U \mathbf{z}, U \mathbf{w}) &= \omega(\mathbf{z}, \mathbf{w}) \quad \forall \mathbf{z}, \mathbf{w} \\ \iff && \braket{U^{-1} J U \mathbf{z}, \mathbf{w}} &= \braket{J\mathbf{z}, \mathbf{w}}, \quad \forall \mathbf{z}, \mathbf{w} \\ \iff && U^{-1} J U &= J \\ \iff && J U &= U J \end{align*} $$

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