보존력

정의

힘 $\mathbf{F}$가 물체를 점 $\mathbf{a}$에서 $\mathbf{b}$로 이동시킬 때, 그 힘이 한 일이 경로에 무관한 값을 가지면 그 힘을 보존력^{conservative force}이라 한다.

$$ \underset{\text{path I}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \text{work} = \underset{\text{path II}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} $$

설명

경로에 무관하다는 말은 시작점 $\mathbf{a}$와 끝점 $\mathbf{b}$에만 의존한다는 말과 같다. 수학적으로는 보존장과 같은 개념이며, 단위가 힘인 보존장을 특별히 보존력이라 부른다고 이해하면 된다.

힘 $\mathbf{F}$가 보존력인 것, 컬이 $\mathbf{0}$인 것, 폐경로 적분이 $0$인 것, 그리고 스칼라 퍼텐셜 $V$가 존재하는 것이 모두 동치인 것을 보일 수 있다.

$$ \begin{array}{ccc} \mathbf{F} \text{ is conservative} & \iff & \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} \\[1em] \Updownarrow & & \Updownarrow \\[1em] \displaystyle \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0 & \iff & \text{There exists $V$ such that } \mathbf{F} = -\nabla V \end{array} $$