보존장 (비회전장)
정의1 2
벡터장 $\mathbf{F}$의 적분이 경로에 무관하다면 이 벡터장을 보존장conservative (vector) field이라 한다.
$$ \underset{\text{path I}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \underset{\text{path II}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} $$
설명
아래의 정리에 의해 보존장을 비회전장curl-free/irrotational field이라고도 한다. 벡터장 $\mathbf{F}$의 단위가 힘이라면, 경로적분은 물리적으로 일을 의미한다. 즉, 물체를 특정한 두 점 사이로 움직일 때 필요한 일의 양이 경로에 무관하다는 의미이다. 이러한 힘을 🔒(26/04/23)보존력이라 한다.
아래 정리는 보존장의 동치 조건에 관해 말해주는 유용한 정리이며, 그 내용을 요약하면 다음과 같다.
$$ \begin{array}{ccc} \mathbf{F} \text{ is conservative} & \iff & \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} \\[1em] \Updownarrow & & \Updownarrow \\[1em] \displaystyle \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0 & \iff & \text{There exists $V$ such that } \mathbf{F} = -\nabla V \end{array} $$
정리
벡터장 $\mathbf{F} = (F_{x}, F_{y}, F_{z})$와 각 성분의 도함수 $\partial_{j}F_{i}$가 단순연결영역에서 연속이면 다음이 모두 동치이다.
(a) 영역 내 모든 점에서 $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$
(b) 영역 내 모든 단순폐곡선 $C$에 대해서 $\oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0$
(c) $\mathbf{F}$가 보존장이다. 즉 영역 두 점 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$에 대해 적분 $\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$이 경로에 무관하다.
(d) $\mathbf{F} = -\nabla V$인 스칼라 장 $V$가 존재한다.
증명
(a) $\implies$ (b)
(a) 가 성립한다고 하자. 그러면 스토크스 정리에 의해서 다음이 성립한다.
$$ \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \int_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = \int_{S} \mathbf{0} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = 0 $$
여기서 $S$는 폐곡선 $C$가 둘러싸는 표면이다.
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(b) $\implies$ (c)
(b) 가 성립한다고 하자. 그러면 어떤 폐곡선 $C$와 그 안의 두 점 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \underset{\text{path I}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} + \underset{\text{path II}}{\int_{\mathbf{b}}^{\mathbf{a}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0 $$
이때 $\text{path I}$는 폐곡선 $C$ 내에서 $\mathbf{a}$에서 $\mathbf{b}$로 가는 경로이고, $\text{path II}$ 그 나머지 경로이다(어떻게 선택하든 증명에는 영향을 주지 않는다). 두번째 적분을 우변으로 옮기고 정리하면 아래와 같다.
$$ \underset{\text{path I}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = - \underset{\text{path II}}{\int_{\mathbf{b}}^{\mathbf{a}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \underset{\text{path II}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} $$
위 식은 어떤 폐곡선 $C$에 대해서도 성립하므로, $\mathbf{a}$에서 $\mathbf{b}$로의 적분은 경로에 무관하게 항상 같은 값을 갖는다.
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(c) $\implies$ (d)
(c) 가 성립한다고 하자. 스칼라 함수 $V : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$을 아래와 같이 정의하자.
$$ V(\mathbf{r}) := - \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}} \mathbf{F}(\mathbf{s}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}, \quad \mathbf{r} = (x,y,z) \tag{1} $$
$V$의 편미분을 구해보면 아래와 같다.
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial V}{\partial x} &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{V(x+h, y, z) - V(x, y, z)}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \left( -\int_{\mathbf{r}_{0}}^{(x+h,y,z)} \mathbf{F}(\mathbf{s}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{s} + \int_{\mathbf{r}_{0}}^{(x,y,z)} \mathbf{F}(\mathbf{s}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{s} \right) \end{align*} $$
$y$, $z$ 성분에 대해서는 변화가 없으므로, $\mathrm{d}\mathbf{s} = \mathrm{d}x\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 0z\mathbf{k} = \mathrm{d}x\mathbf{i}$이고 $\mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s} = F_{x} \mathrm{d}x$이다. 따라서 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial V}{\partial x} &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \left( -\int_{\mathbf{r}_{0}}^{(x+h,y,z)} F_{x} \mathrm{d}x + \int_{\mathbf{r}_{0}}^{(x,y,z)} F_{x} \mathrm{d}x \right) \\ &= - \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \left( \int_{(x,y,z)}^{(x+h,y,z)} F_{x} \mathrm{d}x \right) \end{align*} $$
미분적분학의 기본정리에 의해 아래와 같다.
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial V}{\partial x} &= -F_{x}(x,y,z) \end{align*} $$
유사하게, $y$, $z$ 성분에 대해서도 다음과 같다.
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial V}{\partial y} &= -F_{y}(x,y,z) \\ \dfrac{\partial V}{\partial z} &= -F_{z}(x,y,z) \end{align*} $$
따라서 $\mathbf{F} = -\nabla V$를 만족하는 스칼라장 $V$가 $(1)$과 같이 존재한다.
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(d) $\implies$ (a)
그래디언트의 컬은 $\mathbf{0}$이므로 성립한다.
$$ \nabla \times \mathbf{F} = \nabla \times (-\nabla V) = \mathbf{0} $$
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