차원분석
정의1
차원 분석dimensional analysis이란, 서로 다른 물리량이 포함된 방정식에서 각 항의 차원이 같아야 한다는 원리를 기반으로 방정식의 올바름을 검증하거나 새로운 관계를 유도하는 기법이다.
설명
수식의 검증
지구 반지름을 $R_{e}$, 지구 주위를 도는 인공위성 궤도의 반지름을 $r_{c}$, 지구의 중력가속도를 $g$라 하자. 그러면 인공위성의 속력 $v_{c}$에 대한 공식은 아래와 같다.
$$ v_{c} = \left( \dfrac{g R_{e}^{2}}{r_{c}} \right)^{1/2} $$
속도의 차원은 $\mathsf{L}^{1}\mathsf{T}^{-1}$이고, 우변의 차원을 정리해보면 아래와 같다.
$$ \mathsf{L}^{1}\mathsf{T}^{-1} = \left( \dfrac{\mathsf{L}^{1}\mathsf{T}^{-2} \cdot \mathsf{L}^{2}}{\mathsf{L}^{1}} \right)^{1/2} = \left( \mathsf{L}^{2}\mathsf{T}^{-2} \right)^{1/2} = \mathsf{L}^{1}\mathsf{T}^{-1} $$
따라서 좌변과 우변의 차원이 일치하므로, 위 수식이 틀리지는 않았다는 걸 알 수 있다. 차원이 일치한다는 것은 수식적 전개에 이상이 없다는 의미이지, 그것이 가지는 물리적 관계가 실제로 참이라는 것을 보장하지는 않는다. 즉, 차원이 불일치한다는 것을 보이면 그 수식이 틀린건 확실하지만, 차원이 일치한다고 반드시 그 수식이 참이라는 뜻은 아니다.
물리적 관계 도출
차원 분석은 물리량 사이의 관계를 도출하는데도 쓰일 수 있다. 예를 들어 길이가 $\ell$인 실에 질량이 $m$인 공이 달려있는 단진자를 생각해보자. 실의 질량은 무시한다. 공을 평형위치에서 약간 치켜올려 놓았을 때, 공이 진자운동을 하며 진동하는 주기 $T$는 어떤 물리량에 의해 결정되는가? 주기에 영향을 줄 수 있는 요소를 고려해보자. 우선 실의 길이 $\ell$과 공의 질량 $m$이 있을 것이다. 또한 진자는 중력에 의해 운동하므로 중력가속도 $g$도 고려할 수 있다. 그러면 주기 $T$는 아래와 같은 형태로 나타날 수 있다.
$$ T \propto \ell^a m^b g^c $$
여기서 $k$는 무차원 상수이다. 이제 각 항의 차원을 비교해보자.
- $T$의 차원: $\mathsf{T}^1$
- $\ell$의 차원: $\mathsf{L}^1$
- $m$의 차원: $\mathsf{M}^1$
- $g$의 차원: $\mathsf{L}^1\mathsf{T}^{-2}$
따라서 위 식의 차원은 다음과 같다.
$$ \mathsf{T}^1 = (\mathsf{L}^1)^a (\mathsf{M}^1)^b (\mathsf{L}^1\mathsf{T}^{-2})^c = \mathsf{L}^{a+c} \mathsf{M}^b \mathsf{T}^{-2c} $$
이 식이 성립하려면 양변의 차원의 지수가 같아야 하므로, 아래와 같은 방정식을 세울 수 있다.
- $\mathsf{L}$: $a + c = 0$
- $\mathsf{M}$: $b = 0$
- $\mathsf{T}$: $-2c = 1$
이 방정식들을 풀면 $a = \frac{1}{2}$, $b = 0$, $c = -\frac{1}{2}$가 나온다. 따라서 주기 $T$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$ T \propto \ell^{1/2} m^0 g^{-1/2} = \left( \dfrac{\ell}{g} \right)^{1/2} $$
이렇게 차원 분석을 통해 주기 $T$는 실의 길이 $\ell$과 중력가속도 $g$에만 의존하고, 질량에는 무관하다는 것을 알 수 있다. 특히 길이의 제곱근에 비례하고, 중력가속도의 제곱근에 반비례한다. 공의 질량 $m$은 주기에 영향을 주지 않는다. 실제로 계산해봐도 단진자 운동의 주기는 진자의 길이와 중력 가속도에만 의존한다는 것을 알 수 있다.
같이보기
Grant R. Fowles and George L. Cassiday. Analytical Mechanics (7th Edition, 2005), p7-9. ↩︎